5.1.2. Выбор тестовых сигналов

Рис. 5.12. Наиболее часто используемые тестовые сигналы. Слева - временные диаграммы, справа - модули спектральной плотности. Для сигнала г) взято 5 периодов синусоиды.

Для идентификации объекта управления необходимо измерять сигнал на его входе   и реакцию   на выходе. Для идентификации в частотной области оперируют изображениями по Фурье входного   и выходного  сигнала. Если входной сигнал подается специально с целью идентификации, то такой эксперимент называется активным. Если же идентификация выполняется путем измерения входных и выходных воздействий в системе в нормальном режиме ее функционирования, такой эксперимент называется пассивным. Идентификацию можно выполнить, подавая тестовый сигнал не только на вход системы, но и в виде изменения нагрузки (например, нагрузки на валу двигателя), а также параметров объекта (например, количества яиц в инкубаторе).

Идентификация в пассивном эксперименте привлекательна тем, что не вносит погрешность в нормальное течение технологического процесса, однако ее достоверность крайне низка в принципе [Ротач] и может привести не к настройке, а расстройке ПИД-регулятора. Тем не менее, число патентов по ПИД-регуляторам с пассивной идентификацией равно числу патентов с активной идентификацией [Li].

При проведении активного эксперимента возникает задача выбора формы тестового воздействия. Используют сигналы в форме ступеньки (скачка), в форме прямоугольного импульса, линейно нарастающего сигнала, треугольного импульса, псевдослучайного двоичного сигнала (ПСДС) [Гроп], шума, отрезка синусоиды (частотный метод). Наиболее часто для настройки ПИД-регуляторов используют скачок (рис. 5.12-а), двойной прямоугольный импульс (рис. 5.12-в) и синусоидальный сигнал (рис. 5.12-г).

На рис. 5.12 справа приведены графики зависимости модулей спектральной плотности перечисленных сигналов от частоты (амплитудные характеристики спектра).

Тестовое воздействие должно иметь достаточно малую амплитуду, чтобы переходный процесс в объекте оставался в границах линейности. В то же время оно должно быть достаточно большим, чтобы увеличить отношение сигнала к шуму и внешним возмущениям. Перед подачей тестового воздействия объект должен находиться в установившемся состоянии и быть устойчивым.

Предположим, что в качестве тестового воздействия для идентификации мы выбрали синусоидальный сигнал (рис. 5.12-г. С увеличением количества периодов   амплитуда боковых лепестков в спектре сигнала уменьшается, амплитуда основной гармоники увеличивается, ширина спектра сужается. При прохождении такого сигнала через объект управления на его выходе получается почти синусоидальный сигнал с той же частотой, что и на входе, изменяется только его амплитуда и фаза. Поэтому синусоидальный тестовый сигнал позволяет получить только одну точку на графике АЧХ или ФЧХ объекта, а для построения всей кривой необходимо подавать серию синусоидальных воздействий с разными частотами.

Вместо этого можно использовать сигнал, спектральное разложение которого содержит множество гармонических составляющих. Такой сигнал можно подавать на объект идентификации однократно, но в результате получить информацию об объекте в широком диапазоне частот. Спектральную характеристику тестового сигнала необходимо выбирать такой формы, чтобы действующее значение сигнала в любом интервале частот многократно превышало соответствующую величину помехи. Граничная частота спектра тестового сигнала должна быть выше наибольшего по абсолютной величине полюса передаточной функции объекта [Справочник]. Точнее, выше, чем частота единичного усиления   разомкнутого контура с обратной связью. До настройки регулятора, когда частота   еще не известна, верхнюю граничную частоту спектра тестового сигнала выбирают выше частоты  , на которой фазовый сдвиг выходного синусоидального сигнала объекта относительно входного составляет -180˚. Указанный диапазон частот важен потому, что именно на частоте   возникают колебания, когда объект находится на границе устойчивости в замкнутом контуре с релейным регулятором или П-регулятором. В контуре с ПИ-регулятором частота затухающих колебаний может быть ниже, и соответствовать точке, где сдвиг фаз в объекте составляет около -145˚ [Astrom] вследствие дополнительного фазового сдвига, вносимого интегратором. В ПИД-регуляторах дифференцирующее звено может скомпенсировать этот фазовый сдвиг и колебания возникнут на частоте  .

Нижняя граница диапазона, в котором необходимо достаточно точно идентифицировать передаточную функцию объекта, должна быть примерно в 10 раз ниже частоты единичного усиления   [Grassi]. Более точно нижнюю границу диапазона можно определить только после настройки ПИД-регулятора.

В качестве иллюстрации к сказанному на рис. 5.13, рис. 5.14 сплошной жирной линией показана амплитудно-частотная (АЧХ) и фазо-частотная характеристика (ФЧХ) объекта с передаточной функцией

где  ,  ,  ,  . Для получения хорошего отношения сигнал/шум амплитудная характеристика спектра тестового сигнала не должна иметь сильных провалов в интересующей области частот, чтобы обеспечить достаточно большое отношение сигнала к шуму. Этому условию, в частности удовлетворяют сигналы, показанные штриховой и пунктирной линиями на рис. 5.13. Желательно также, чтобы порядок функции, описывающей спектральную функцию тестового сигнала (т.е. порядок многочлена в знаменателе функции), был не ниже порядка объекта управления, поскольку крутизна спада АЧХ в области верхних частот увеличивается с ростом порядка.

Ширина спектра и мощность тестового сигнала существенно влияют на точность идентификации. В общем случае более мощные и широкополосные сигналы позволяют определить большее число параметров передаточной функции. Данное утверждение иллюстрируется рис. 5.15, где кривые 2 и 3 представляют собой реакции на прямоугольные импульсы длительностью 60 сек и разной амплитуды. Из рисунка видно, что в формировании импульсной характеристики участвуют, по крайней мере, две ярко выраженные экспоненты с разыми постоянными времени, причем одна из них становится практически неразличимой (а ее параметры - неидентифицируемыми) на фоне помех при малой амплитуде тестового сигнала.

Невозможность идентификации части параметров объекта в условиях помех можно пояснить также с помощью рис. 5.6. При   и  ,   после подачи импульсного тестового сигнала   переменная   будет расти очень медленно и за время, равное длительности тестового импульса, может остаться ниже уровня шума. Поэтому информация о ней будет отсутствовать в измерениях переменной  , следовательно, параметры   идентифицировать будет невозможно. Результатом идентификации в этом случае будет модель 1-го порядка, хотя объект имеет второй порядок. Для решения этой проблемы нужно увеличить амплитуду (при  ) или длительность (при  ,   и  ) тестового импульса.

Рис. 5.13. АЧХ объекта 2-го порядка   (сплошная линия) и амплитудная характеристика спектра различных тестовых воздействий  : прямоугольного импульса (штриховая линия); двойного импульса (пунктирная линия); скачка (штрихпунктирная)	Рис. 5.14. Фазо-частотная характеристика объекта управления 2-го порядка: штриховая линия - без транспортной задержки; сплошная линия - с задержкой.

Если идентификация выполняется без остановки технологического процесса (а это наиболее важный для практики случай), то могут существовать ограничения на максимальную мощность, длительность или энергию тестового сигнала, чтобы не нарушать нормальный ход технологического процесса. Например, в инкубаторе допускается подать импульс, кратковременно (на 5 мин.) повышающий температуру до 50˚С, однако повышение температуры даже на 1˚С в течение нескольких часов приводит к гибели зародыша. Поэтому возникает задача выбора тестового сигнала с требуемым спектром при ограничении на его мощность, длительность или энергию.

Наилучшую спектральную характеристику тестового сигнала можно получить, усложняя форму сигнала и увеличивая общее время идентификации. Для идентификации быстрых процессов (например, в электромеханических системах) получил широкое распространение псевдослучайный двоичный сигнал [Гроп], имеющий равномерный спектр в ограниченной полосе частот. Однако при управлении тепловыми процессами для ПИД-регуляторов наиболее критическим параметром является быстрота идентификации. Поэтому здесь чаще используют простые сигналы, которые, кроме быстроты идентификации, позволяют использовать простые расчеты по формулам вместо численных методов минимизации функционала ошибки. Конечно, достоверность результата при этом падает.

Даже тщательно выполненная идентификация может не дать положительного результата, если окажется, что объект существенно нелинеен (см. рис. 5.11). Для тестирования на линейность объект возбуждают серией тестовых воздействий разной амплитуды. Полученные реакции объекта нормируют на амплитуду тестового сигнала и сравнивают между собой. Для линейных объектов полученные кривые должны совпадать. Если различие между кривыми существенно превышает оценку погрешности идентификации, то объект следует рассматривать как нелинейный и использовать для него методы теории автоматического управления нелинейными системами.

После идентификации объекта разность между экспериментальными данными и расчетом по модели дает функцию погрешности идентификации, из которой после удаления систематической составляющей можно найти корреляционную функцию (или спектральную плотность мощности) шума измерений и внешних возмущений. Более точно идентифицировать шум и внешние возмущения можно путем измерения реакции объекта в рабочей точке при стабильном уровне входного воздействия.

В теории идентификации в качестве тестовых сигналов часто используют случайные сигналы. Суть метода заключается в том, что на вход объекта подают случайный стационарный тестовый сигнал   и измеряют реакцию на него  . Зная из эксперимента реализации случайных сигналов на входе и выходе объекта, находят оценки автокорреляционной функции входного сигнала и взаимной корреляционной функции между случайным сигналом на входе и выходе. Далее с помощью преобразования Фурье находят спектральные плотности мощности этих сигналов   и  . После этого передаточная функция объекта управления  находится простым делением полученных Фурье-изображений:

Используя обратное преобразование Фурье, можно найти импульсную характеристику объекта управления.

Однако на практике такой метод используют крайне редко, поскольку он требует накопления данных в течение времени, которое примерно в 100 раз превышает время взаимной корреляции шума между входом и выходом объекта [Справочник], что на практике займет неоправданно больше время для медленных (например, тепловых) процессов.