5.3.5. Регулятор с внутренней моделью

Если модель   объекта   идентифицирована, то можно не рассчитывать параметры ПИД-регулятора, если использовать регулятор с показанной на рис. 5.54 структурой [Karakawa, Ho, Tamayo, Lee]. Здесь   - фильтр, обычно выбираемый с передаточной функцией

 - обращенная модель объекта, т.е.  . Знак приближенного равенства стоит потому, что обращение модели редко можно выполнить точно, см. "Нахождение обратной динамики объекта".

Для описания принципа действия регулятора на рис. 5.54 предположим сначала, что возмущения   и шумы измерений   отсутствуют, а модель объекта управления и обращенная модель являются точными, т.е.

Тогда разность между сигналами на выходах процесса и модели равна нулю:  . Но в таком случае   и, учитывая, что , получим

ПИД_IMC.tif

Рис. 5.54. Регулятор с внутренней моделью

Рис. 5.55. Регулятор с внутренней моделью   в классической форме представления (с регулятором  )

Поскольку в установившемся режиме   (5.71), то получим  . Таким образом, регулятор с внутренней моделью точно поддерживает значение уставки в статическом режиме.

Фильтр нижних частот   в такой структуре с помощью настройки граничной частоты   позволяет выбрать компромисс между запасом устойчивости и быстродействием замкнутой системы.

Регулятор, представленный на рис. 5.54, путем переноса блока вычисления разности   может быть преобразован в классическую форму ПИД-регулятора (рис. 5.35, рис. 5.55), где

В общем случае регулятор (5.74) может иметь высокий порядок, который определяется порядком объекта. Однако в частном случае описанная структура вырождается в обычный ПИ- или ПИД-регулятор [Leva]. Предположим, что модель объекта описывается передаточной функцией

Приближенная обратная функция будет иметь следующий вид (см. раздел "Принцип разомкнутого управления"):

Можно уточнить вид функции (5.75), если использовать аппроксимацию задержки   линейным членом ряда Тейлора:

С учетом приведенных выражений для  ,   и   уравнение регулятора (5.74) примет вид

Как видим, это уравнение ПИ-регулятора, в котором пропорциональный коэффициент равен  , а постоянная интегрирования -  .

ПИД-регулятор можно получить из регулятора с внутренней моделью, если задержку   заменить аппроксимацией Паде первого порядка [Astrom]:

При этом уравнение (5.74) преобразуется к виду

В знаменателе этого выражения для частот ниже   и   можно пренебречь членом   по сравнению с  :

Как видим, получилась передаточная функция классического ПИД-регулятора.

Таким образом, для объектов управления первого порядка регулятор с внутренней моделью при допущениях (5.77) и (5.81) эквивалентен ПИ- или ПИД-регулятору.

Важной особенностью регулятора с внутренней моделью является возможность настройки робастности независимо от выбора остальных параметров регулятора. Для этого выбирают соответствующий фильтр   или параметр   для фильтра первого порядка (5.71). Регулятор с внутренней моделью может дать очень хорошую реакцию на изменение уставки, однако реакция на внешние возмущения может быть слишком замедленной, поскольку в выражении (5.74) сокращаются нули и полюса передаточной функции, см подробнее этот эффект в разделе "Сокращение нулей и полюсов"

Проектирование регулятора с внутренней моделью происходит следующим образом [Leva]. Сначала находят и оптимизируют обратную модель   исходя из требований к качеству переходного процесса при изменении уставки, не обращая внимания на робастность. Для получения начального приближения   предполагают, что   и используют методы обращения динамического оператора, описанные в разделе "Принцип разомкнутого управления". Единственным ограничением при оптимизации передаточной функции  является требование ее асимптотической устойчивости. После этого выбирают структуру и параметры фильтра  , добиваясь требуемой робастности системы при заданном быстродействии. Поскольку в идеальном случае (5.73) свойства замкнутой системы определяются характеристикой выбранного фильтра, его граничная частота в этом случае определяет быстродействие всей замкнутой системы.

Для объектов, у которых транспортная задержка   составляет менее 0,25 от доминирующей постоянной времени объекта  , постоянную времени фильтра приближенно можно выбрать из диапазона от   [Leva]. Если  , то  . Если транспортная задержка еще больше, то постоянную времени фильтра еще более увеличивают, выбирая в качестве начального приближения   [Leva].

Рис. 5.56. Реакция системы со встроенной моделью на входной импульс, помеху и возмущение для разных параметров фильтра  ; 1 - модель точно соответствует объекту и

Пример реакции системы со встроенной моделью на изменение уставки  , на импульс помехи   и возмущение   приведен на рис. 5.56. Объект описывается передаточной функцией вида  . Модель описывается передаточной функцией  , т.е. модель не точно соответствует объекту. Обратный оператор  . Отметим, что для обеспечения точности в установившемся режиме должно выполняться соотношение  , поскольку коэффициент передачи регулятора в установившемся режиме должен стремиться к бесконечности (см. (5.74)). На рис. 5.56 кривая 1 соответствует случаю, когда модель точно соответствует объекту, а постоянная времени фильтра  . Как видим, повышение точности модели и уменьшение постоянной времени фильтра позволяют существенно увеличить быстродействие системы, однако реакция на возмущающие воздействия при этом изменяется слабо.