Критерий Найквиста

Рассмотрим систему, состоящую из контроллера   и объекта управления   (рис. 5.77), которая получена путем исключения из классической системы с ПИД-регулятором (рис. 5.34) сигнала уставки  . Будем считать, что обратная связь разомкнута, а для ее замыкания достаточно соединить точки   и  . Предположим теперь, что на вход   подан сигнал

Тогда, пройдя через регулятор и объект управления, этот сигнал появится на выходе   с измененной амплитудой и фазой, в виде

где   - комплексная частотная характеристика (КЧХ) системы,   - аргумент КЧХ,   - модуль КЧХ. Таким образом, при прохождении через регулятор и объект амплитуда сигнала изменится пропорционально модулю, а фаза - на величину аргумента КЧХ.

Если теперь замкнуть точки   и  , то сигнал будет циркулировать по замкнутому контуру, причем будет выполняться условие  . Если при этом   и  , т.е. после прохождения по контуру сигнал попадает на вход регулятора в той же фазе, что и на предыдущем цикле, то после каждого прохождения по контуру амплитуда синусоидального сигнала будет возрастать, пока не достигнет границы диапазона линейности системы, после чего форма колебаний станет отличаться от синусоидальной. В этом случае для анализа устойчивости можно использовать метод гармонической линеаризации, когда рассматривают только первую гармонику искаженного сигнала. В установившемся режиме после наступления ограничения амплитуды колебаний в силу равенства   будет выполняться условие

Решив уравнение  , можно найти частоту колебаний   в замкнутой системе.

Комплексную частотную характеристику   графически изображают в виде годографа (диаграммы Найквиста) - графика в координатах   и   (рис. 5.78). Стрелка на линии годографа указывает направление движения "карандаша" при возрастании частоты. Точка  , которая соответствует условию существования незатухающих колебаний в системе, на этом графике имеет координаты   и  . Поэтому критерий устойчивости Найквиста формулируется следующим образом [Ротач]: контур, устойчивый в разомкнутом состоянии, сохранит устойчивость и после его замыкания, если его КЧХ в разомкнутом состоянии не охватывает точку с координатами [-1, j0]. Более строго, при движении вдоль траектории годографа в направлении увеличения частоты точка [-1, j0] должна оставаться слева [Astrom], чтобы замкнутый контур был устойчив.

На рис. 5.79 показаны реакции замкнутых систем с тремя различными годографами (рис. 5.78) на единичный скачок уставки. Все три системы устойчивы, однако скорость затухания колебаний и форма переходного процесса у них различная. Интуитивно понятно, что система с параметрами   наиболее близка к тому, чтобы перейти в состояние незатухающих колебаний при небольшом изменении ее параметров. Поэтому при проектировании ПИД-регулятора важно обеспечить не столько устойчивость, сколько ее запас, необходимый для нормального функционирования системы в реальных условиях.

Запас устойчивости оценивают как степень удаленности КЧХ от критической точки [-1, j0]. Если  , то можно найти, во сколько раз осталось увеличить передаточную функцию, чтобы результирующее усиление вывело систему в колебательный режим:  , откуда

Запасом по усилению   называется величина, на которую нужно умножить передаточную функцию разомкнутой системы  , чтобы ее модуль на частоте сдвига фаз 180˚   стал равен 1.

Если на частоте сдвига фаз 180˚   коэффициент усиления разомкнутого контура равен   (рис. 5.78), то дополнительное усиление величиной   переведет систему в точку [-1, j0], поскольку  .

Аналогично вводится понятие запаса по фазе: это минимальная величина  , на которую нужно увеличить фазовый сдвиг в разомкнутой системе  , чтобы суммарный фазовый сдвиг достиг 180˚, т.е.

Рис. 5.79. Переходная характеристика замкнутой системы, которая имеет годограф, показанный на рис. 5.78

Знак "+" перед   стоит потому, что  .

Для оценки запаса устойчивости используют также минимальное расстояние   от кривой годографа до точки [-1, j0] (рис. 5.78).

На практике считаются приемлемыми значения  =2...5,  =30˚...60˚,  =0,5...0,8 [Astrom].

Для графика на рис. 5.78 эти критерии имеют следующие значения:

• для случая  ,    =12,1;  =15˚;  =0,303.

• для случая  ,    =11,8;  =47,6;  =0,663.

• для случая  ,    =1,5;  =35,2;  =0,251.

Если кривая годографа пересекает действительную ось в нескольких точках, то для оценки запаса устойчивости берут ту из них, которая наиболее близка к точке [-1, j0]. При более сложном годографе может быть использована оценка запаса устойчивости как запас по задержке [Astrom].Запас по задержке- это минимальная задержка, при добавлении которой в контур он теряет устойчивость. Наиболее часто этот критерий используется для оценки запаса устойчивости систем с предиктором Смита.