Функции чувствительности

Передаточная функция реального объекта может изменяться в процессе функционирования на величину , например, вследствие изменения нагрузки на валу двигателя, числа яиц в инкубаторе, уровня или состава жидкости в автоклаве, вследствие старения и износа материала, появления люфта, изменения смазки и т.п. Правильно спроектированная система автоматического регулирования должна сохранять свои показатели качества не только в идеальных условиях, но и при наличии перечисленных вредных факторов. Для оценки влияния относительного изменения передаточной функции объекта на передаточную функция замкнутой системы (5.41) найдем дифференциал :

(5. 91)

Поделив обе части этого равенства на и подставив в правую часть , получим

(5.92)

Из последнего соотношения виден смысл коэффициента - он характеризует степень влияния относительного изменения передаточной функции объекта на относительное изменение передаточной функции замкнутого контура, то есть является коэффициентом чувствительности замкнутого контура к вариации передаточной функции объекта. Поскольку коэффициент является частотозависимым, его называют функцией чувствительности [Astrom].

Как следует из (5.92),

(5. 93)

Введем обозначение .

(5.94)

Рис. 5.81. Модули функций чувствительности для систем с годографами, показанными на рис. 5.78

Величина называется комплементарной (дополнительной) функцией чувствительности [Astrom], поскольку .

Заметим, что функция чувствительности входит во все три слагаемые уравнения замкнутой системы с ПИД-регулятором (5.42).

Функция чувствительности позволяет оценить изменение свойств системы после замыкания обратной связи. Поскольку передаточная функция разомкнутой системы равна , а замкнутой , то их отношение . Аналогично, передаточная функция от входа возмущений на выход замкнутой системы равна (см. (5.42)), а разомкнутой - , следовательно, их отношение также равно . Для передаточной функции от входа шума измерений на выход системы можно получить то же отношение .

Таким образом, зная вид функции (см, например, рис. 5.81), можно сказать, как изменится подавление внешних воздействий на систему для разных частот после замыкания цепи обратной связи. Очевидно, шумы, лежащие в диапазоне частот, в котором , после замыкания обратной связи будут усиливаться, а шумы с частотами, на которых , после замыкания обратной связи будут ослаблены.

Наихудший случай (наибольшее усиление внешних воздействий) будет наблюдаться на частоте максимума модуля функции чувствительности (рис. 5.81):

(5.95)

Максимум функции чувствительности можно связать с запасом устойчивости (рис. 5.78). Для этого обратим внимание, что представляет собой расстояние от точки (-1, j0) до текущей точки на годографе функции . Следовательно, минимальное расстояние от точки (-1, j0) до функции равно

(5.96)

Сопоставляя (5.95) и (5.96), можно заключить, что .

Если с ростом частоты модуль уменьшается, то, как видно из (рис. 5.78), . Подставляя сюда соотношение , получим оценку запаса по усилению, выраженную через максимум функции чувствительности:

(5.97)

Аналогично, но с более грубыми допущениями можно записать оценку запаса по фазе через максимум функции чувствительности [Astrom]:

(5.98)

Например, при получим и .

Содержание