2.7.1. Определение рядов Тейлора и Маклорена

Очень часто желательно представление тех или иных функций f(x) в достаточно простом и единообразном виде. Эта задача решается методами аппроксимации, которые мы рассмотрим позже. Пока же зададимся более простой задачей - представления функций в виде степенного многочлена F(x) в окрестности заданной на оси абсцисс точки x=x0. Такое приближенное разложение было впервые получено Тейлором и получило название ряда Тейлора. Его отрезок:

f'(x0) f''(x0) f⁽ⁿ⁾(x0)

F(x)  f(x0) +  (x-x0) +  (x-x0)² + ...+  (x-x0)ⁿ.

1! 2! n!

Если разложение выполняется относительно точки x=0, его принято называть рядом Маклорена. Отрезок такого ряда записывается как:

f'(0) f''(0) f'''(0) f⁽ⁿ⁾(0)

F(x)  f(0) +  x +  x² +  x³ + ...+  xⁿ.

1! 2! 3! n!

Операции разложения в отрезки рядов Тейлора и Маклорена настолько распространены, что включены в набор функций практически всех математических систем.