2.3.1. Определение производной и полного дифференциала

Производная непрерывной функции f(x) – это предел, к которому стремится отношение бесконечно малого приращения функции к соответствующему бесконечно малому приращению аргумента x:

при x0.

Если речь идет о вычислении численного значения производной, то оно производится в некоторой точке x=x0. Как известно, значение производной геометрически характеризуется наклоном касательной к графику f(x) в точке x=0. Производную можно рассматривать и как скорость изменения функции в заданной точке. В экстремумах функций производная равна нулю.

Помимо производной, некоторые математические системы оперируют понятием дифференциала

df(x)=f'(x)x,

то есть произведения производной функции на приращение ее аргумента x  0.

Если функция имеет производную в точке x, то она в этой точке непрерывна. Разрывные функции в точках разрыва не имеют производных, хотя у них возможны производные слева и справа от точек разрыва. Непрерывность функции не является достаточным признаком того, что она имеет производную. Не все непрерывные функции имеют производные во всех точках. В принципе возможны даже непрерывные функции, вообще не имеющие производных. Примером могут быть самоподобные кривые - фракталы, вид которых сохраняется при уменьшении или увеличении размеров [17].

Производная от первой производной f'(x), то есть функция f'' (x), называется производной второго порядка. Могут быть и производные высшего порядка.

Довольно часто встречаются функции ряда переменных, например f(x,y,z,...). В этом случае может идти речь о частных производных по переменным x, y, z,.... Например, частной производной по переменной x будет выражение:

 f(x,y,z,...) f(x+x, y, z,...) - f(x, y, z,...)

f '_x(x,y,z,...)= - = lim  .

x x0 x

Подобные выражения нетрудно составить и для частных производных по другим переменным. Можно считать, что при вычислении частной производной по какой-то переменной остальные переменные рассматриваются как константы. Можно также говорить о частных дифференциалах. Полный дифференциал функции ряда переменных:

 f  f  f

df =  dx +  dy +  dz +....

 x  y  z

Перейдем к практике вычисления производных.