2.3. Вычисление производных и интегралов

Пределом функции f(x) называют то ее значение b, к которому функция неограниченно приближается в точке x=a (предел в точке) или слева или справа от нее. Предел обозначается как:

Предел Предел слева Предел справа

в точке a от точки a от точки a

lim f(x) = b lim f(x) = b lim f(x) = b

xa xa- xa+

При этом подразумевается, что функция f(x) определена на некотором промежутке, включающем точку x=a, и во всех точках, близких к ней слева и справа. В последнем случае предел вычисляется для x = a - h или x = a + h при h, стремящемся к нулю. Пределом может быть число, математическое выражение, положительная или отрицательная бесконечность. В системе Mathcad вычисление предела возможно только при символьном выводе. Для этого используется соответствующий шаблон предела.

Пример 2.6. Вычислить предел выражения sin(x)/x в точке x=0, имеющей в этой точке устранимую неопределенность вида 0/01:

Пример 2.7. Постройте график выражения sin(x)/x при x=-10..10 и объясните наблюдаемую при x=0 особенность.

Функция g(x) = 1/(x - 2) интересна тем, что она не имеет предела в особой точке x = 2, но имеет бесконечные пределы разного знака по обе стороны от точки x = 2.

Пример 2.8. Постройте график функции g(x) = 1/(x - 2) и подберите удобные масштабы для ясного представления вида этой функции.

П

.

Обратите внимание на то, что в первом случаеMathcad выдал сообщение undefined (не определен), которое и указывает на отсутствие предела. В других примерах пределом является бесконечность («положительная» и «отрицательная»). Можно также говорить о пределе ряда функций при x или при x-. Например функция e^-x имеет предел 0 при x. Проверьте это сами.