2.6 Статистические, теоретико-вероятностные модели

Статистические и теоретико-вероятностные методы составляют методологическую основу одноименного вида моделирования. На этом уровне формализации модели речь о вскрытии закона, обеспечивающего устранение неопределенности при принятии решения, пока еще не идет, но существует некоторый массив наблюдений за данной системой или ее аналогом, позволяющих сделать некие выводы относительно прошлого/текущего/будущего состояния системы, основываясь на гипотезе об инвариантности ее поведения.

Как всегда, сформулируем определение… Статистическая или теоретико-вероятностная модель (стохастическая модель) — это модель, в которой обеспечивается учет влияния случайных факторов в процессе функционирования системы, основанная на применении статистической или теоретико-вероятностной методологии по отношению к повторяющимся феноменам. Данная модель оперирует количественными критериями при оценке повторяющихся явлений и позволяет учитывать их нелинейность, динамику, случайные возмущения за счет выдвижения на основе анализа результатов наблюдений гипотез о характере распределения некоторых случайных величин, сказывающихся на поведении системы.

По существу, теоретико-вероятностные и статистические модели отличаются уровнем неопределенности знаний о моделируемой системе, существующей на момент синтеза модели. В случае, когда представления о системе носят, скорее, теоретический характер и основываются исключительно на гипотезах о характере системы и возмущающих воздействий, не подкрепленных результатами наблюдений, теоретико-вероятностная модель является единственно возможной. Когда же на этапе синтеза модели уже существуют данные, полученные опытным путем, появляется возможность подкрепления гипотез за счет их статистической обработки. Это становится очевидным, если рассмотреть соотношение между методами математической статистики и теории вероятностей. Математическая статистика — это наука, изучающая методы вскрытия закономерностей, свойственных большим совокупностям однородных объектов или событий, на основании их выборочного обследования (либо большим массивам данных, полученных в результате наблюдения за одним и тем же объектом на протяжении достаточно протяженного интервала времени). Теория же вероятностей изучает количественные закономерности, которым следуют случайные явления, если эти явления определяются событиями известной вероятности. Соответственно, математическая статистика является связующим звеном между теорией вероятностей и явлениями реального мира, поскольку позволяет сформулировать оценки вероятности тех или иных событий на основе анализа статистических данных.

Можно утверждать, что статистические модели представляют собой особый вид математических моделей, использующих в качестве исходных данных не только актуальные данные о текущем состоянии объекта, но и данные, характеризующие состояние либо других объектов данного класса, либо этого объекта, но в иной момент времени. Статистические модели применимы для изучения массовых явлений любой природы, включая и те, которые не относятся к категории вероятностно определенных (математическая статистика приспособлена и для решения детерминированных задач). При моделировании последних статистический процесс вводится в модель искусственно для получения статистических оценок численного решения (например, точности измерения параметров детерминированного процесса).

Методы математической статистики и теории вероятности могут вводиться, в том числе, и в логические и логико-лингвистические модели, как это было указано в предыдущем подразделе. Например, могут рассматриваться методы интеграции статистических оценок в модели семантических отношений для придания различных весов дугам, связывающим отдельные вершины. Статистические оценки могут быть внедрены и в системы представления тезаурусов для разрешения ситуаций полисемии без обращения к процедурам контекстного анализа. Иными словами, статистические методы могут составлять как основу модели, так и применяться для модификации моделей других типов.

Для обработки результатов наблюдений используются методы корреляционного, регрессионного, факторного, кластерного и иных видов анализа, оперирующих статистическими гипотезами. Особая роль здесь отводится методу статистических испытаний (методу Монте-Карло). Это метод численного решения математических задач, основанный на многократном теоретико-вероятностном и статистическом моделировании случайных величин или процессов с целью построения статистических оценок для искомых величин. Сущность метода состоит в реализации многократного моделирования случайного явления с помощью некоторой процедуры, дающей случайный результат. Для этого с применением ЭВМ создается некоторое множество реализаций случайных процессов, моделирующих возмущающие воздействия на исследуемый объект или процесс, после чего производится моделирование этого процесса или объекта в условиях, определяемых полученными случайными воздействиями. Результаты такого моделирования обрабатывают с использованием методов математической статистики. При этом могут варьироваться тип и параметры распределения случайной величины.

Реализация случайного процесса методом Монте-Карло представляет собой последовательность розыгрышей единичных жребиев, перемежающихся обычными расчетами, в ходе которых определяется результат возмущающего воздействия на объект или процесс, на исход операции.

Поскольку адекватность модели распределения случайных воздействий в общем случае установить трудно, задачей моделирования с применением метода Монте-Карло является обеспечение робастности полученных решений (устойчивости к изменению параметров закона распределения случайных величин и начальных условий моделирования). Если результат моделирования не является робастным (существенно зависит от параметров закона распределения и параметров модели), то это свидетельствует о наличии высокого риска при принятии решения в данной реализации моделируемой системы.

Важную роль в статистических моделях играют гипотезы о характере процессов смены состояний в моделируемой системе. Так, например, весьма интересный случай представляет собой гипотеза о «марковости» процессов (получившая название в честь русского ученого А.А. Маркова — начало XX века). Марковские процессы представляют собой случай процесса с детерминированными вероятностями, для которого ранняя предыстория смены состояний системы на некотором предшествующем интервале времени несущественна для установления вероятности наступления следующего события — основное значение придается ее текущему состоянию. Если существует уверенность в марковости процесса, это существенно меняет представления о системе (она может рассматриваться как «инерционная», в большой степени зависящая от текущего ее состояния и характера возмущающего воздействия). Принцип марковости был открыт при анализе текстов на естественных языках, где вероятность появления следующего символа может быть предсказана на основе статистического анализа текстовых массивов, на данном конкретном языке.

Статистическое моделирование тесно сопряжено с имитационным моделированием, ходе которого модель объекта нередко «погружается в вероятностную (статистическую) среду», в которой проигрываются различные ситуации и режимы функционирования модели/объекта. Однако имитационные модели могут реализовываться и в детерминированных средах.

Методы статистического моделирования широко распространены в сфере стратегического планирования и управления. Широкому распространению методов статистического моделирования в сфере оперативного управления препятствует высокая трудоемкость процесса моделирования. В основном это связано с необходимостью глубокой математической проработки моделей и высокими требованиями, предъявляемыми к математическим познаниям пользователей.