18. Упорядоченные выборки с возвращением

Имеется урна, в которой ровно n разных шаров. В силу возобновляемости урны, объем выборки k ничем не ограничен. Поэтому в качестве k берется натуральное число, без каких-либо ограничений.

Спрашивается, сколько будет всевозможных выборок объема k ? Чтобы получить ответ на поставленный вопрос, применим основное комбинаторное правило.

Выборку с возвращением объема k можем представить как процесс последовательного, одно за другим, в k действий, извлечения шаров из урны возобновляемого содержания из n шаров. В силу возобновляемости урны, каждое из k действий выполнимо n способами – по числу шаров в урне, и потому .

Тем самым, процесс извлечения шара выборки с номером a₁ осуществляется n способами.

Процесс извлечения шара той же выборки с номером a₂ осуществляется, в силу возобновляемости содержания урны, также n способами.

И, наконец, процесс извлечения последнего шара выборки с номером a_k осуществляется n способами.

Тем самым, согласно основному комбинаторному правилу, всего выборок (a₁,…a_k) будет .

Сам процесс образования выборки показывает, что это выборки с возвращением, и, одновременно, выборки упорядоченные.

В итоге, доказано, что

Из генеральной совокупности объема n извлекаются n^k всевозможных упорядоченных выборок с возвращением объема к.