53. Математическое ожидание и дисперсия. Интегральная и дифференциальная функции распределения. Полигон и гистограмма.

Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности: M(X) = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn

Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(X) = (x1 - M(X))2p1 + (x2 - M(X))2p2 + ... + (xn- M(X))2pn = x21p1 + x22p2 + ... + x2npn - [M(X)]2

Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии: σ(X) = √D(X)

Мода дискретной случайной величины Mo(X) - это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность. На многоугольнике распределения мода - это абсцисса самой высокой точки. Бывает, что распределение имеет не одну моду

Интегральной функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее ,  Рис. 3. Интегральная (а) и дифференциальная (б) функции распределения случайной величины Интегральной функцией распределения F(x) называют функцию, каждое значение которой для каждого х является вероятностью события, заключающегося в том, что случайная величина x_i в i -м опыте принимает значение, меньшее х. Она имеет следующие свойства: 1) неотрицательная, т.е. F(x)<0; 2) неубывающая 3) диапазон ее изменения: от 0 до Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной функции распределения .

Полигон (для дискретной случайной величины) - ломаная, соединяющая точки (х_i, n_i — полигон  частот или точки (х_i, w_i) — полигон относительных частот.

  Полигон частот:

  Гистограмма — ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых являются отрезки длиной x_i-x_i-1.

54. Повторение опытов и распределение Бернулли.Предположим, что несколько одинаковых машин в одних и тех же условиях перевозят груз. Любая машина может выйти из строя при этих перевозках. Пусть вероятность выхода из строя одной машины не зависит от выхода из строя других машин. Это значит, что рассматриваются независимые события (испытания). Вероятности выхода из строя каждой из этих машин примем одинаковыми ().

Пусть, в общем случае, производится независимых испытаний. Ставится задача определения вероятности того, что ровно в испытаниях наступит событие , если вероятность наступления этого события в каждом испытании равна . В случае с машинами это могут быть вероятности выхода из строя ровно одной машины, ровно двух машин и т.д.Определим вначале вероятность того, что в первых испытаниях событие наступит, а в остальных испытаниях — не наступит. Вероятность такого события может быть получена на основании формулы вероятности произведения независимых событий,где .Так как рассматривалась только одна из возможных комбинаций, когда событие произошло только в первых испытаниях, то для определения искомой вероятности нужно перебрать все возможные комбинации. Их число будет равно числу сочетаний из элементов по , т.е. .

Таким образом, вероятность того, что событие наступит ровно в испытаниях определяется по формуле

, (3.3) Ф. бЕРНУЛЛИ

где .