2.3. Алгебра множеств (алгебра Кантора)

Алгебра Кантора: <B(I),,,–>. Носителем ее является булеан универсального множества I, сигнатурой – операции объединения , пересечения  и дополнения –[9].

Для операций алгебры Кантора выполняются следующие законы:

1) коммутативности объединения и пересечения:

М_аМ_b=М_bМ_а, М_аМ_b=М_bМ_а;

2) ассоциативности объединения и пересечения:

М_а(М_b  М_с)=(М_аМ_b)М_с, М_а(М_bМ_с)=(М_аМ_b)М_с;

3) дистрибутивности пересечения относительно объединения и объединения относительно пересечения:

М_а(М_bМ_с)=(М_аМ_b)(М_аМ_с),

М_а(М_bМ_с)=(М_аМ_b)(М_аМ_с),

причем последнее соотношение не имеет аналога в обычной алгебре;

4) идемпотентности объединения и пересечения:

М_аМ_а=М_а, М_аМ_а=М_а,

поэтому в алгебре Кантора нет ни степеней, ни коэффициентов;

5) де Моргана:

, ;

6) двойного дополнения:

.

Выполнимы также следующие действия с универсальным I и пустым  множествами:

7) М=М, М=, МI=I, МI=М, ,.

Все эти соотношения могут быть доказаны с использованием кругов Эйлера. Видны двойственность соотношений: они справедливы как относительно объединения, так и относительно пересечения.

Рассмотрим дополнительные законы:

8) склеивания:

9) поглощения:

М(МА)=М;

10) Порецкого – по фамилии российского логика, математика и астронома, профессора Казанского университета Платона Сергеевича Порецкого (1846-1907 гг.):

.

Алгебра Кантора по аддитивной операции объединения и мультипликативной операции пересечения является абелевой полугруппой, так как для этих операций выполняются законы коммутативности и ассоциативности, но она не является группой, поскольку уравнения М_аХ=М_b, М_аХ=М_b не имеют решения, например, для случая, когда множества не пересекаются: М_аМ_b= [9]. Поэтому алгебра Кантора по двухместным операциям  и  не является кольцом. Эта алгебра принадлежит к другому классу фундаментальных алгебр – к классу решеток.