2.2. Группа подстановок Галуа

Рассмотрим знаменитую группу подстановок, которую исследовал выдающийся французский математик Э. Галуа (1811-1832 гг.) [9].

Обладая феноменальными математическими способностями, он настолько опередил современников в своих теоретических исследованиях, что при жизни так и не был понят даже великими Фурье и Пуассоном, и даже не был принят в Политехническую школу – центр математической мысли Франции тех лет. «Неистовый республиканец», «любимец богов» был отважным революционером, сидел в тюрьме за участие в антиправительственных выступлениях и погиб на дуэли в возрасте 20 лет. Основную часть своих результатов согласно легенде он записал ночью перед дуэлью, а признан был только спустя много лет после смерти. Хотя его труды составляют всего около 60 страниц, многое в них еще до сих пор не понято математиками и ждет своего разрешения.

Подстановкой n-ой степени называется взаимно однозначное отображение множества из n элементов в себя.

Рассмотрим всего три элемента: х₁, х₂, х₃.

Существует шесть вариантов последовательностей из трех элементов:

х₁х₂х₃, х₂х₃х₁, х₁х₃х₂, х₃х₁х₂, х₂х₁х₃, х₃х₂х₁.

Запишем порождение этих вариантов следующим образом:

Эта запись означает, что х₁ переходит (отображается) в х₂, х₂ – в х₃, х₃ – в х₁.

Число таких возможных подстановок равно числу вариантов последовательностей из трех элементов. Обозначим возможные подстановки:

, ,,

, ,.

Произведением подстановок назовем последовательное выполнение сначала первой, а затем второй из перемножаемых подстановок.

Например,

Таким образом, имеем алгебру <П,¤>, где П – множество подстановок {а,b,с,d,e,f}, ¤ – бинарная операция П²П.

Соответствующая таблица Кэли для алгебры постановок Галуа имеет вид табл. 3.

Таблица 3

Таблица Кэли для алгебры подстановок Галуа

j i	а	b	с	d	e	f
a	a	b	с	d	e	f
b	b	а	d	с	f	е
с	с	е	а	f	b	d
d	d	f	b	е	а	с
е	е	с	f	а	d	b
f	f	d	е	b	с	а	i¤j

В такой алгебре выполняется закон ассоциативности, но не выполняется закон коммутативности.

Нейтральным элементом является подстановка а.

Группа – это полугруппа взаимно однозначных преобразований, причем именно однозначность гарантирует наличие обратного преобразования. Можно сказать, что в группе при любом числе умножений не теряется информация об исходном элементе: если известно, на что умножали, всегда можно узнать что умножали. Для полугруппы это верно не всегда. Пусть дана дискретная система с конечным числом состояний S={S₁,...,S_n}, на вход которой может быть подано входное воздействие из множества x={x₁,...,x_m}. Всякое входное воздействие однозначно переводит состояние системы в некоторое другое состояние, т.е. является преобразованием множества S. Последовательности воздействий – композиция преобразований, поэтому множество всех последовательностей – полугруппа с образующими {x₁,...,x_m}. Если такая полугруппа является группой, то по любой входной последовательности и заключительному состоянию системы можно однозначно определить ее начальное состояние [19].

Алгебра <М,·,+>, которая по умножению (·) является мультипликативным группоидом, а по сложению (+) – абелевой группой, причем умножение связано со сложением законом дистрибутивности

а·(b+с)=а·b+а·с

(b+с)·а=b·а+с·а,

называется кольцом. Например, числовыми кольцами являются множество целых чисел Z, множество рациональных чисел R, множество действительных чисел D, множество комплексных чисел К.

Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом (имеются обратные элементы по умножению). Тело, у которого мультипликативная группа абелева, называется полем. Таковы поля Галуа.