2.5. Задание множеств конституентами

Формула алгебры множеств, представляющая собой пересечение, в которое входят по одному разу все множества (со знаками дополнения или без дополнений) на данном универсуме, называется конституентой единицы [9]. Формула, представляющая собой объединение, в которое входят по одному разу все множества (со знаками дополнения или без дополнений) на данном универсуме, называется конституентой нуля. Каждое множество, за исключением пустого, может быть задано объединением конституент единицы. Каждое множество за исключением универсального может быть задано пересечением конституент нуля. Рассмотрим задание множества путем указания его конституент единицы. Пусть на некотором универсуме рассматриваются два взаимно пересекающихся множества: А и В.

Зададим их графически с помощью диаграмм Эйлера (рис. 9).

Рис. 9. Диаграмма Эйлера для двух взаимно пересекающихся

множеств А и В на универсуме I

Тогда каждый из четырех сегментов (четырех «кусочков») этой диаграммы может быть закодирован конституентой, содержащей символы А и В:

–сегмент 00 – не А и не В;

–сегмент 10 – А, но не В;

–сегмент 01 – не А и В;

–сегмент 11 – А и В.

В таком случае, заданное множество можно закодировать двоичным кодом в соответствии с тем, входят ли в него указанные конституенты (табл. 4):

Таблица 4

Задание множества А двоичным числом

11	10	01	00
23	22	21	20
1	1	0	0

Множество А закодировано двоичным числом 1100. Этому двоичному числу соответствует десятичное число 12.

При таком задании множеств легко выполняются операции над ними. Например, получим пересечение множества №12 и множества №5. Результатом будет множество №4. Действительно, результат пересечения – множество, в котором при его двоичном представлении, имеются единицы в разрядах, соответствующих совпадениям единиц в исходных множествах (табл. 5).

Таблица 5

Пересечение множеств №12 и №5

1	1	0	0	№12
0	1	0	1	№5
0	1	0	0	№4=(№12)(№5)