10.2. Системы счисления, как основа различных кодов

Кодирование информации о численности чего-либо привело к созданию систем счисления [36].

Десятичная система счисления – способ кодирования натуральных чисел, причем основание системы счисления проистекало от количества пальцев на руках. История знает и другие системы – двадцатеричная – по числу пальцев на руках и ногах. Римские цифры – другой, более наглядный способ. Один палец – I, пятерня – V, две пятерни – Х, пятьдесят – L, сто – С, тысяча – М. С помощью букв обозначали цифры и греки, и русские, и грузины. Индийцы и арабы придумали нуль и позиционную систему счисления.

Основной единицей кодирования информации в настоящее время является бит – один двоичный разряд, который может быть либо нулем (0), либо единицей (1). Подавляющее большинство ЭВМ используют двоичное представление информации. В начале эры компьютеров битами кодировали числа и команды. Потом оказалось, что такое кодирование пригодно для записи, хранения и переработки практически любой информации: изображений (видеоинформации), звука, музыки, фильмов и т.д.

Группы в три бита называют триадами, группы из четырех битов – тетрады. Наиболее часто сейчас говорят о байтах – группах из восьми бит. Два байта – это уже слово. Килобайт – это 2¹⁰ бит – 1024 бита. Мегабайт – это 2²⁰ бит. Гигабайт – это 2³⁰ бит. Терабайт – это 2⁴⁰.

Двоичная система счисления.

В двоичной системе счисления основание 2: используется только два символа: 0,1. Поэтому арифметика очень простая: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10 (0 и перенос в следующий разряд). Запись 11011,101 некоторого двоичного числа соответствует следующему десятичному числу: 1·2⁴+ 1·2³+0·2²+ 1·2¹+ 1·2⁰, 1·2^-1+0·2^-2+1·2^-3=27,625.

Такое представление числа называется представлением с фиксированной запятой. Запятая фиксирована в соответствующей аппаратуре (арифметико-логическом устройстве АЛУ). Часто числа представлялись в виде дробей, поэтому как исходные данные, так и результаты решения задач должны были представляться именно так. Для этого проводили масштабирование – выбирали масштабные коэффициенты. Неправильный выбор масштабных коэффициентов мог вызвать так называемое переполнение разрядной сетки – ошибку в виде образования целой части, для которой в разрядной сетке нет места, и она теряется.

Рассмотрим, как выполняется двоичное суммирование:

Пусть необходимо сложить два двоичных числа 101 и 11:

Двоичное вычитание, например, (10-6 в десятичном коде) выглядит следующим образом:

Для выполнения такой операции необходим специальный «вычитатель», поэтому вычитание заменяют сложением числа в так называемом обратном коде, когда разряды вычитаемого инверсируют:

При этом образуется перенос 1, который необходимо сложить с промежуточным результатом 0011:

таким образом, получаем ответ 0100 (10-6=4 в десятичном коде).

Для операций в обратном коде необходим специальный сумматор с так называемым циклическим переносом, обеспечивающим сложение переноса с промежуточным результатом. Это неудобно, поэтому применяют так называемый дополнительный код, который устраняет циклический перенос. Представим десятичное число –6 в двоичном дополнительном коде (то есть, заменяем операцию 10-6 на операцию 10+ (–6), числа здесь в десятичном коде): –6 десятичное это –0110 двоичное, в обратном коде 1001, да еще прибавляем единицу (таковы правила образования дополнительного кода):

таким образом, дополнительный двоичный код десятичного числа –6 равен 1010. Здесь старший подчеркнутый разряд это знак, знаковый разряд. Тогда операция вычитания выглядит так:

перенос, возникающий в этом случае, просто отбрасывается, получаем 0100 (4 десятичное). Поэтому при аппаратной реализации вычитания может быть использован обычный сумматор.

Дополнительные коды четырехразрядных двоичных чисел показаны в табл. 65.

Таблица 65

Дополнительные коды

0000	0
0001	+ 1
0010	+ 2
0011	+ 3
0100	+ 4
0101	+ 5
0110	+ 6
0111	+ 7
1000	Не использ.
1001	- 7
1010	- 6
1011	- 5
1100	- 4
1101	- 3
1110	- 2
1111	- 1

Таким образом, в формате из четырех разрядов представимы числа в диапазоне –7+7 (2³ -1).

При использовании байта с фиксированной запятой представляют целые числа в диапазоне –127+127 (2⁷ –1).

В общем случае n бит могут кодировать 2ⁿ объектов.

Перевод чисел из десятичной в двоичную систему счисления выполняют, например, путем деления на основание системы счисления – 2, и записывают соответствующие остатки, либо подбирают соответствующие степени числа 2.

Пример. Дано десятичное число 38, ближайшая степень числа 2 – это число 32, т.е. 2⁵, остается еще 6, ближайшая степень числа 2 – это 4, т.е. 2², остается 2, это 2¹. Таким образом:

0×2⁷+0×2⁶+1×2⁵+0×2⁴+0×2³+1×2²+1×2¹+0×2⁰=100110.

Восьмеричная система счисления.

В восьмеричном коде восемь символов:

0 (000 двоичное),

1 (001 двоичное),

2 (010 двоичное),

3 (011 двоичное),

4 (100 двоичное),

5 (101 двоичное),

6 (110 двоичное),

7 (111 двоичное).

Для перевода числа из восьмеричного кода в двоичный, необходимо каждую цифру восьмеричного кода заменить на триаду (три символа) двоичного, например, 354₈=11 101 100₂, здесь двоичное число представлено в байтовом формате, поэтому старшая триада неполная. Наоборот, из двоичного кода в восьмеричный: 10 111 101₂=275₈.

Шестнадцатеричная система счисления.

В шестнадцатеричном коде шестнадцать символов:

0 (0000 двоичное),

1 (0001 двоичное),

2 (0010 двоичное),

3 (0011 двоичное),

4 (0100 двоичное),

5 (0101 двоичное),

6 (0110 двоичное),

7 (0111 двоичное),

8 (1000 двоичное),

9 (1001 двоичное),

A (1010 двоичное),

B (1011 двоичное),

C (1100 двоичное),

D (1101 двоичное),

E (1110 двоичное),

F (1111 двоичное).

Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, необходимо заменить каждую тетраду (четыре символа) соответствующим шестнадцатеричным символом, например:

1011 1101₂ =BD_16.

Наоборот, из шестнадцатеричного кода в двоичный:

9АEF₁₆= 1001 1010 1110 1111_2.

В восьмеричном и шестнадцатеричном кодах можно строить соответствующие арифметики.

Например, в шестнадцатеричном коде: EF₁₆+AC₁₆=19B₁₆ (F+C=1B, 1 переносится в следующий разряд; E+A=18, да еще +1 из предыдущего разряда =19).

В восьмеричном коде: 37₈+21₈=60₈.

Представление чисел в ЭВМ в двоично-кодированном десятичном формате (BCD или десятичном).

В BCD-формате десятичные цифры хранятся в виде 4-битных двоичных эквивалентов. В упакованном BCD-формате цепочка десятичных цифр хранится в виде последовательности 4-битных групп, например: 9502 в виде 1001 0101 0000 0010.

В неупакованном BCD-формате каждая цифра хранится в младшей тетраде соответствующего байта.

Представление чисел в ЭВМ в формате с плавающей запятой.

Такой формат предусматривает представление числа в показательной форме.

Например, десятичное число 685,73₁₀. представляется в виде 0,6857310³, здесь 0,68573 – мантисса, 10 – основание десятичной системы счисления, 3 – порядок.

В ячейке памяти двоичные числа в формате с плавающей запятой хранятся в виде двух групп цифр: первая группа, называемая мантиссой, определяет само число, вторая, называемая порядком, определяет место запятой в числе. Соответствующим выбором значения порядка можно добиться, чтобы старший разряд мантиссы не был равен нулю. Такая форма называется нормальной, а соответствующая операция приведения к такой форме называется нормализацией.

Кодирование буквально пронизывает информационные технологии [36].

В теории кодирования рассматриваются:

• представление данных произвольной природы в памяти ЭВМ (мы рассмотрели представление чисел);

• обеспечение помехоустойчивости при передаче данных по каналам связи (кодирование по нечетности, по Хэммингу, с использованием циклических полиномов);

• защита данных от несанкционированного доступа (криптографическое кодирование);

• сжатие информации в базах данных.