M3. Парадокс дней рождения

Вероятность того, что два случайно выбранных человека родились в один и тот же день, равна 1/365. Мы не будем учитывать високосные годы, поскольку никакого заметного влияния на результат это не окажет.

Допустим, у на уже есть n человек, и у них у всех различные дни рождения. Если теперь к ним добавить (n+1)-го человека, то вероятность того, что у него (неё) день рождения не является общим ни с кем из остальных, равна

.

Поэтому вероятность того, что среди 23-х случайно выбранных людей никакая пара человек не имеет общего дня рождения, равна

,

что (с точностью до трех десятичных знаков) дает нам значение 0.493. Поэтому вероятность того, что хотя бы у одной пары будет общий день рождения, равна 1-0.493, то есть 0.507. Поскольку это число больше, чем 1/2, то более чем в половине случаев должна найтись пара с общим днем рождения. Если бы мы рассмотрели 22 человека, а не 23, то вероятность найти хотя бы одну пару с общим днем рождения была бы меньше половины ‑ она рана 0.476 (с точностью до трех десятичных знаков).