Глава 13 m21. (Порядок роста количества простых чисел)

Теорема о законе распределения простых чисел (см. [12.1]) утверждает, что с ростом числа N количество простых чисел, меньших N (которое традиционно обозначается (N)), можно асимптотически аппроксимировать величиной

.

Здесь логарифм берется по основанию e.

Отсюда следует, что с ростом N постепенно уменьшается доля простых чисел среди всех натуральных чисел, меньших N. Гаусс сформулировал теорему о законе распределения простых чисел в 1793 году, в результате изучения таблиц простых чисел, меньших 1000, 10000 и 100000; однако он не смог доказать ее. Соответствующие цифры представлены в таблице А.2.

Таблица А.2

Если числа из правого столбца последовательно вычесть друг из друга, мы получим:

8.14 - 5.95 = 2.19,

10.43 - 8.14 = 2.29,

12.74 -10.43 = 2.31.

Гаусс предположил, что данная разность должна с ростом N быть относительно постоянной и приблизительно равной 2.3. Поскольку log(10) приблизительно равен 2.3, то отсюда следует, что при увеличении N в десять раз соответствующая доля простых чисел среди всех натуральных чисел, меньших N, должна вырасти в log(10) раз. Это утверждение эквивалентно формулировке теоремы о законе распределения простых чисел. Предположение Гаусса оказалось верным, однако прошло более ста лет, прежде чем теорема о законе распределения простых чисел была, наконец, доказана. См. об этом также [12.1].