Загальні формули прямокутників

Якщо відрізок інтегрування [а;b] великий, то похибка формули (**) може бути досить значною. Щоб цьому запобігти, розбивають відрізок на частини і застосовують формули до кожної з них. Розділимо, наприклад, відрізок інтегрування [а; b] на m рівних частин: [x₀; x₁], [x₁; x₂], [x₂; x₃],..., [x_m-1; x_m] завдовжки , де x₀=а, x_m=b.

За властивістю інтеграла маємо:

.

П означивши (і = 1, 2, 3, ..., m) і обчисливши кожний з інтегралів (і = 1, 2, 3, ..., m), наприклад за формулою середніх прямокутників, матимемо:

.

Цю формулу називають узагальненою формулою середніх прямокутників.

Аналогічно дістанемо узагальнені формули лівих і правих прямокутників.

З геометричного погляду, якщо , права частина формули виражає площу фігури, що складається із заштрихованих прямокутників (мал.).

Гранична абсолютна похибка результату за квадратурною формулою середніх прямокутників дорівнює

, де - заключна похибка округлення результату, М₂ – максимум другої похідної функції f(x) на проміжку [a;b].