Чисельне інтегрування

Якщо для визначеної і неперервної на проміжку [а; b] функції f(х) відома первісна F(х), то визначений інтеграл можна обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца: , де

Проте в багатьох випадках обчислити визначений інтеграл за цією формулою неможливо, оскільки знайти первісну F(х) через елементарні функції, як правило, не вдається. Навіть тоді, коли її можна визначити, вона часто має досить складний і незручний для обчислень вигляд. Крім того, на практиці підінтегральна функція часто задається таблично і в такому разі аналітичні методи просто незастосовні. У цих випадках для обчислення визначених інтегралів користуються чисельними методами.

Ч исельне інтегрування – це обчислення значення визначеного інтеграла через ряд значень підінтегральної функції та її похідних. Оскільки знаходження числового значення визначеного інтеграла (якщо f(х)0) з геометричного погляду можна тлумачити як обчислення площі криволінійної трапеції (її квадратури), обмеженої віссю Ох, прямими х=а, х=b і лінією у=f(x), то формули для наближеного обчислення визначеного інтеграла називаються квадратурними.

Найширше застосовуються квадратурні формули, які дають можливість наближено відшукувати значення інтеграла у вигляді лінійної комбінації кількох значень підінтегральної функції

, (*)

де A_k — коефіцієнти формули (дійсні числа), x_k — вузли формули.

Якщо задано деякий клас функцій і для нього будуємо квадратурну формулу типу (*), то коефіцієнти і вузли формули не повинні залежати від вибору функції f(х) з даного класу функцій.

Величина

називається залишковим членом квадратурної формули (похибкою формули).

Можливі різні підходи до побудови квадратурних формул такого типу.