Наближене знаходження коренів рівнянь Дослідження рівняння. Відокремлення коренів

Нехай задано неперервну функцію y=f(x) і потрібно знайти деякі або всі корені рівняння

f(x) = 0. (1)

Здебільшого, як відомо, корені рівняння (1) можна знайти лише наближено. Для знаходження наближених значень коренів даного рівняння з потрібною точністю доводиться розв'язувати такі задачі: 1) досліджувати кількість коренів та їх розміщення; 2) знаходити наближені значення коренів; 3) обчислювати потрібні корені з необхідною точністю.

Перші дві задачі розв'язують аналітичними і графічними методами. Наприклад, складають таблицю функції f(х), і якщо в двох сусідніх вузлах таблиці функція має різні знаки, то між ними лежить принаймні один корінь. Для відокремлення коренів інколи вдається використати властивості функції f(х), її графік тощо.

Розглянемо графічний метод. Для наближеного розв'язання рівняння f(х)=0 будують графік функції у = f(х). Абсциси точок перетину цього графіка з віссю абсцис і є коренями рівняння f(х)=0.

Оскільки, практично графік функції у=f(х) точно побудувати неможливо, то цим методом можна визначити лише наближені значення коренів рівняння f(х) = 0.

Графічний метод не дає можливості знайти корінь рівняння з наперед заданою точністю, і тому найчастіше його використовують для знаходження початкового, наближеного розв'язку та для визначення меж, в яких міститься розв'язок.

Наближені значення кореня уточнюють різними ітераційними методами. Розглянемо деякі з них.