Квадратурні формули прямокутників

Нехай n = 0, тоді формула набирає вигляду:

(**)

Ця формула називається формулою прямокутників. Поклавши x₀=a, або x₀=b, або , дістанемо три формули (лівих, правих і середніх) прямокутників.

Формулу прямокутників можна легко вивести на основі геометричних міркувань.

Якщо для додатної неперервної на [а;b] функції площу криволінійної трапеції, що дорівнює точному значенню інтеграла, наближено замінити площею прямокутника, висота якого f(х₀), то дістанемо формулу (**). Ці формули мають зміст для будь-якої неперервної на [а; b] функції, не обов'язково додатної. Мал. є геометричною ілюстрацією формули середніх прямокутників. Залишкові члени формул прямокутників дістанемо, якщо n = 0, тобто

Для формул лівих (х₀ = а) і правих (х₀ = b) прямокутників функція П₁(х) = х – х₀ на [а; b] не змінює знака. Якщо f'(х) неперервна, то, скориставшись теоремою про середнє, відповідно матимемо:

Для формули середніх прямокутників функція П₁(х) = х – (a+b)/2 на [а; b] змінює знак і тому скористатися теоремою про середнє не вдається. Формули прямокутників даватимуть точний результат, якщо функція f(x) на [a; b] константа.

Проте навіть з геометричних міркувань видно, що формула середніх прямокутників даватиме точний результат не тільки тоді, коли f(х) буде константою, а й тоді, коли функція у = f (х) на відрізку [а; b] буде довільною лінійною функцією Ах + В. Крім того, формула середніх прямокутників дає точний результат і для всіх непарних відносно середини відрізка [а; b] функцій f(х).