Предисловие

Дискретная математика – раздел математики, занимающийся изучением свойств объектов дискретного и (или) конечного характера, к числу которых могут быть отнесены конечные группы, конечные графы, многие математические модели преобразователей информации. Все эти объекты и модели основываются на теоретико-множественных понятиях. В нынешнее цифровое тысячелетие знание дискретной математики, «цифровое мышление» – необходимый элемент информационной культуры специалиста.

Как отдельная учебная дисциплина в большинстве вузов РФ дискретная математика выделилась сравнительно недавно в 70-80-е годы прошлого века.

Математическая логика – это логика, развиваемая математическим методом. Характерным является использование формальных языков с точным синтаксисом и чёткой семантикой, однозначно определяющими понимание формул. Потребность в такой логике выявилась в начале ХХ века в связи с интенсивной разработкой оснований математики, возникновением, уточнением понятия алгоритма и другими глубокими и принципиальными вопросами математической науки. Значение математической логики для науки не исчерпывается её математическими приложениями, поскольку рассуждать и доказывать приходится во всех науках. Поэтому математическая логика с полным правом может быть охарактеризована как логика на современном этапе.

Математическая логика чаще всего являлась отдельным разделом дискретной математики. И только в конце ХХ века в государственных образовательных стандартах даже «нематематических» специальностей она представляется как отдельная дисциплина.

В последние годы пришло понимание того, что логика – единая наука, поэтому формальную логику необходимо рассматривать как раздел математической, что и практикуется теперь в ведущих вузах. Это позволяет, с одной стороны, обеспечить синтез двух подходов в преподавании логики – традиционного и символического, а с другой стороны, предоставляет возможность пояснения сложных вопросов математики на простых и наглядных примерах, которые могут быть легко представлены как формально, так и неформально.

Учебное пособие предназначено для изучения двух дисциплин – «Дискретная математика» и «Математическая логика».

Авторы стремились с одной стороны, как можно более конкретизировать абстрактные понятия математики на «информационных» и «технических» примерах, а с другой стороны, проводили идеологию цифрового и числового кодирования математических объектов. Кодирование – это и основа информационных технологий новой цивилизации, и предоставление возможности формирования большого количества вариантов заданий для самостоятельной работы (см. прил. 1-2) по многим разделам изучаемых дисциплин.

Само задание, как правило, представляется натуральным числом. Таковы задания по теории множеств и переключательным функциям, где номером кодируется некоторое множество на определенном универсуме, либо переключательная функция. В теме «Автоматы» задание для самостоятельной работы – последовательность символов, например, входных наборов.

Авторы пользуются термином «переключательные функции» в дискретной математике, который в последнее время утвердился и в государственных образовательных стандартах. В математической логике, как правило, используется более конкретный термин – «логическая функция».

Авторы посвящают свой скромный труд учителям – Л.Ф. Викентьеву , Т.И. Когану, В.А. Несмелову , и выражают благодарность А.М. Гревцеву за помощь в подготовке заданий для самостоятельной работы.