3.6. Треугольник Паскаля.

Сочетаниями без повторений занимался еще великий Паскаль. Он предложил специальную таблицу значений сочетаний без повторений.

Значения представлены в табл. 6, которая называется треугольником Паскаля.

Таблица 6

Треугольник Паскаля

k n	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1

Заметим, что .

Этот треугольник удивительно красив своей математической красотой, и в его числах можно при желании отыскать различные закономерности. Его можно представить несколько иначе – в виде [26]: равнобедренного треугольника (рис. 10).

Рис. 10. Треугольник Паскаля

Здесь каждое число, кроме единиц на боковых сторонах, является суммой двух чисел, стоящих над ним. Поэтому:

(приводим к общему знаменателю)

(выносим n! за скобку в знаменателе)

Из этого соотношения и вытекает эффективный способ рекуррентного вычисления значений биномиальных коэффициентов.

Докажем соотношение 1)

Это может использоваться при вычислениях, например, вместо можно вычислить.

Докажем соотношение 2)