§ 14. Примеры решения задач на вычисление работы, мощности, кпд.

Выясним, в чём состоит метод решения задач, опирающихся на понятия: работа, мощность, КПД. Может быть, существует что – то общее, что объединяет все эти три понятия? Для ответа на поставленный вопрос решим несколько задач и попробуем сконструировать алгоритм.

Задача 1. Какую работу надо совершить, чтобы по плоскости с углом наклона равномерно втащить груз массойна высотупри коэффициенте трения? Каков при этом КПД?

Краткая запись условия задачи: ,,,,.

Найти:

Решение: 1. Прежде чем анализировать происходящие процессы, надо выбрать систему отсчёта – «Земля».

Работа. 2. Анализируя общую формулу для работы, видим, что для её расчета необходимо знать следующие величины: силу , перемещение, уголмежду направлением силы и перемещения. Таким образом, исходя из условия задачи, прежде всего, необходимо выяснить, работу какой силы требуется найти в задаче. Сделаем рисунок, поясняющий условие задачи (рис. 28а).

3. На рисунке изобразим все силы, действующие на тело, а также направление перемещения тела.На тело действуют четыре силы: сила тяжести , сила реакции опоры, сила трения, сила тяги. Тело, по условию задачи, тянут равномерно вверх. Значит, перемещение направлено вверх, вдоль наклонной плоскости. Очевидно, решение нашей задачи сводится к нахождению работы силы тяги. Сила тяги сонаправлена с перемещением, поэтому , а. Таким образом, по определению работы, получим:

(14.1)

3. Определим значение . Однако, можно ли сразу рассчитать эту силу по какой – либо формуле? Вспоминая формулы всех известных вам сил, вы не найдете дляпрямой формулы расчета. И что же делать? Невозможно решить нашу задачу? Не огорчайтесь, на самом деле у этой задачи есть решение! Наверно, мы что-то просто забыли, а точнее какой – то закон. Этим законом является второй закон Ньютона, который всегда следует помнить!!!

На основании второго закона Ньютона можно записать:

Перейдём от векторной записи уравнения к скалярной:

При этом

, , , , , , , , ,

Тогда имеем:

Учитывая, что и делая математические преобразования с выше написанной системой, получим:

Следовательно,

(14.2)

Подставляя (14.2) в (14.1) получим:

,

где - длина наклонной плоскости.

4. Однако в условии задачи не дано. Найдем ее, учитывая тот факт, что наклонная плоскость представляет собой прямоугольный треугольник(рис. 28б). В итоге получим:

или

Тогда

или

(14.3)

Таким образом, получив формулу (14.3) мы ответили на первый вопрос задачи.

КПД. Для нахождения КПД необходимо воспользоваться следующей формулой

Следовательно, при нахождении КПД необходимо уметь рассчитывать работу силы. Но мы только что нашли какую-то работу. Эта работа полезная или затраченная? Очевидно затраченная, т.к. в ней присутствует коэффициент трения, а точнее сила трения, которая препятствует подъёму тела. В итоге

А как найти полезную работу? Полезным действием подъемного механизма является перемещение груза на высоту . Поэтому

В итоге

или

Прочитав решение задачи, выделите и сформулируйте основные действия, из которых складывалось решение.

А теперь, пользуясь этими предписаниями, решим еще одну задачу.

Задача 2. Из дула орудия длиной вылетает снаряд со скоростью. Масса снаряда. Определите мощность, развиваемую орудием во время выстрела .

Краткая запись условия задачи: ;m ; ;.

Найти:

Решение:

1. Выберем систему отчёта. Система отсчёта – «Земля».

2. В условии задачи требуется найти мощность. По определению

,

и

Следовательно,

(14.4)

Таким образом, решение нашей задачи сводится к нахождению работы неизвестной пока нам силы.

3. Давайте подумаем над вопросом: какие силы могут действовать на снаряд. Очевидно, сила тяжести, сила сопротивления движения и внутренние силы. Находить работу каждой силы, скорее всего, будет просто неразумно. По этой причине будем считать, что работу производит равнодействующая сила, т. е.

(14.5)

Будем считать, что направление этой силы совпадает с направлением перемещения. Следовательно,

=1 (14.6),

т. к. .

Тогда с учётом (14.5) и (14.6), (14.4) можно записать так:

(14.7)

3. Для нахождения ускорения и времени воспользуемся уравнениями кинематики в скалярном виде (рис. 29):

Определим начальные (точка O) и дополнительные условия (точка A):

, , ,

Тогда имеем

(14.8)

(14.9)

Подставив (14.9) в (14.8) получим:

,

Следовательно,

(14.10)

С другой стороны из (14.9),

(14.11)

Тогда подставляя (14.11) в (14.8) получим:

Следовательно,

(14.12)

Подставляя (14.10), (14.12) в (14.7) получим:

Если сформулировать основные действия, выполненные в решении этой задачи, и сравнить их с теми, что выполнялись в решении предыдущей, то придем к выводу, что действия-то, по сути, одинаковы. Таким образом, план решения задач на вычисление работы таков:

1. Выбрать систему отсчёта.

2. Сделать рисунок с расстановкой всех сил, действующих на данное тело, указав направление перемещения.

3. Записать формулу для вычисления работы. Исходя из рисунка, определить, какая сила совершает работу. Найти угол между перемещением и силой.

4. Выразить силу через известную вам формулу. Если такой формулы не существует, то использовать второй закон Ньютона. Решить динамическую задачу, используя алгоритм (§ 9).

5. Если не дано ускорение, путь, время, скорость – использовать уравнения кинематики для равномерного или равнопеременного движения, т. е. алгоритм по кинематике (§ 5).

6. Подставить выражение для силы, ускорения (скорости, пути, времени) в формулу для работы (мощности, КПД).

Примечание. При расчете полезной работы учитываются все силы, кроме силы трения. При расчете затраченной работы учитываются все силы.

Строго следуя предписаниям плана, решите следующие задачи.

• Задачи для самоконтроля № 278 - 312

§ 15. Применение закона сохранения энергии

Столкновения тел - одно из наиболее часто встречающихся явлений в жизни. Сталкивается с мячом нога футболиста, с хоккейной шайбой - клюшка, молот в кузнице - с раскаленным металлом, молоток - с гвоздем, отбойный молоток - с грунтом и т. д. Все это делает необходимым изучение столкновений с точки зрения физики. Столкнове­ния бывают упругие и неупругие. Познакомимся с ними.

а. Абсолютно неупругий удар

Удар называют абсолютно неупругим, если тела после столкновения образуют одно (новое) тело. Примером такого удара может служить стол­кновение двух шаров массами имокрой глины, которые слипаются и образуют но­вый кусок (рис. 30).

При неупругом ударе кинети­ческая энергия тела, образовав­шаяся в результате столкновения, не равна сумме кинетических энергий, которыми исход­ные тела обладали до удара. Часть механической энер­гии превращается во внутреннюю энергию – тело деформируется и нагревается, т.е.

,

где -скорости шаров до удара, - скорости после удара.

Найдем , используя закон сохранения импульса. Согласно этому закону:

Следовательно,

б. Абсолютно упругий удар

Под абсолютно упругим ударом понимают такой удар, при ко­тором механическая энергия сохраняется. Если начальные ско­рости шаров направлены по линии, соединяющей их центры, то удар называют центральным. При упругом ударе кроме закона сохранения импульса, необходимо записать закон сохранения энергии, так как шары после удара будут иметь различные скорости.

Обозначим массы шаров через и, их скорости до удара через и, а после удара черези. Закон сохранения импульсав проекциях на ось X будет иметь следующий вид:

(15.1)

Закон сохранения энергии запишется так:

(15.2)

Нами получена система двух уравнений с двумя неизвестными и. Для решения этой системы её удобно переписать так:

(15.3)

(15.4)

Разделив почленно второе уравнение на первое, получим:

(15.5)

Умножив обе части этого уравнения на и сложив полу­ченный результат почленно с уравнением(15.3), приходим к выражению:

Применив аналогичный приём (умножив обе части уравнения (53.5) на и сложив полу­ченный результат почленно с уравнением(53.3)), получим выражение для проекции скорости :

Применим эти формулы для двух частных случаев.

1. второй шар до удара покоился (тогда

;

При первый шар продолжает двигаться в том же направлении, что и до удара, но с меньшей скоростью. Если, то первый шар отскакивает после удара назад. Второй шар в обоих случаях будет двигаться в ту же сторону, куда двигался до удара первый шар.

2. Оба шара имеют одинаковую массу, тогда

;

Таким образом, шары при соударении обмениваются скоростями.