(16.11)

3. Для состояния 2 – 3 (рис. 35б) применим закон сохранения энергии, т. к. в данном случае на тело действует лишь потенциальная сила – сила тяжести .Запишем его в виде

(16.7)

4. Найдем значение энергииии подставим в уравнение(16.7):

;

Получим

Отсюда

(16.12)

Найдем , используярис. 36

или

(16.13)

Подставляя (16.13) в (16.12) получим:

или

Следовательно,

Переписывая последнее равенство с учётом (16.11), получим:

(по таблице Брадиса)

Поняв смысл каждого предписания, постарайтесь запомнить алгоритм.

Строго следуя предписаниям алгоритма, решите следующие задачи.

• Задачи для самоконтроля № 313 – 370

Механические колебания и волны

§ 17. Свободные колебания пружинного маятника

Груз, подвешенный на пружине, представляет собой простей­шую колебательную систему — пружинный маятник. Пружинным маятником является и колебательная система, изображенная на рисунке 37. Разберем этот рисунок.

За начало системы координат взят конец нерастянутой пружины — точка О. Ось ОХ направлена вправо.

В точке О груз находится в равновесии. Если отклонить груз от положения равновесия в точку А или точку В, то на него будет действовать сила упругости, направленная в обоих случаях к положению равновесия. Груз будет совершать колебания, причем они будут гар­моническими, если считать, что, кроме упругой силы, никакие дру­гие силы не действуют (силы трения, сопротивления воздуха и др.).

Выявим существенные признаки этой колебательной системы. Для пружинного маятника, прежде всего, характерно наличие положения устойчивого равновесия, при выведении из которого возникает сила, стремящаяся вернуть его в состояние равнове­сия (в данном случае сила упругости).

Когда тело проходит положение равновесия, для которого смещение х = 0, сила на него действовать не будет. Однако тело не останется в положении равновесия, а будет продолжать двигаться в прежнем направлении. Наличие причины, не позво­ляющей телу остаться в положении равновесия,— важный приз­нак колебательной системы. В дальнейшем мы увидим, что эти три признака характерны для любой колебательной системы, в том числе и немеханической.

Колебания, которые совершает пружинный маятник без внеш­них воздействий (кроме первоначального выведения из равнове­сия), называются свободными.

Итак, свободные колебания — это колебания, которые возни­кают в системе после выведения ее из состояния равновесия.

Более детальное изучение свободных колебаний пружинного маятника будем осуществлять по плану, который будет в основном использоваться и в дальнейшем при изучении других видов коле­баний различных колебательных систем. Этот план состоит из следующих пунктов:

1. Условие осуществления колебаний.

2. Динамическое описание колебаний.

3. Энергетическое описание колебаний.

;

На тело действует сила упругости (потенциальная сила) ,поэтому

4. Чем определяется амплитуда колебания?

5. Чем определяется частота колебаний?

Условие осуществления свободных колебаний пружинного маятника фактически уже выяснено: колебания возникают в сис­теме в результате выведения ее из состояния равновесия и дейст­вия силы .

Прежде чем, перейти к динамическому описанию колебаний рассмотрим модуль и направление смещения, скорости, ускорения, силы при .

Пусть маятник движется из точкиA в точку О (рис. 38). Момент времени, когда маятник будет находиться в точке О примем за начальный момент, т. е. .Из рис. 38а видно, что смещение

x = 0 при .

Подставим в уравнение

(17.1)

Уравнение (17.2) подходит для выбранных начальных условий, поэтому координата действительно меняется по закону синуса. Тогда скорость – по закону косинуса, ускорение – по закону синуса, т.е.

(17.2)

(17.3)

(17.4)

(17.5)

Рассчитаем значения скорости, ускорения, силы, кинетической и потенциальной энергии при

Скорость в данном случае направлена от положения равновесия (точка O). Таким образом, в точке O имеем.

Динамическое описание этих колебаний состоит в том, что рассматриваем, как меняется сила, координата, скорость и ускорение тела со временем по четвертям периода.

При тело находится в точкеB (рис.38б). Для нахождения значений подставим в формулы (17.2), (17.3), (17.4), (17.5)

Учитывая, что , получим

(17.6)

В соответствии со вторым законом Ньютона ускорение, как сила при гармоническом колебании, направлено к положению равновесия (рис. 38б). Тогда в соответствии с уравнением (17.6) смещение направлено в сторону, противоположную силе (знак минус в формуле).

Таким образом, в точке B имеем ,,,.

При , тело находится в точке0 (рис. 38в). Тогда,

Скорость в данном случае направлена от положения равновесия (точка О) (рис. 38в).

Таким образом, в точке 0 имеем ,,,. Изменение всех этих величин при ,рассмотрите самостоятельно.

Энергетическое описание колебаний состоит в том, что рассматриваем, как меняется энергия по четвертям периода.

При тело находится в точкеB

При , когда тело находится в точкеO

Таким образом, анализируя значения кинетической и потенциальной энергии и, можно следующий вывод. При гармонических колебаниях происходит превращение потенциальной энергии в кинетическую и обратно при сохранении полной механической энергии (трением пренебрегаем).

Изменение энергии при ,рассмотрите самостоятельно.

Амплитуда свободных колебания пружинного маятника зависит от начальных условий: она тем больше, чем больше начальная скорость или начальная координата.

Выясним теперь, от чего зависит частота свободных колебаний пружинного маятника.

Рассматривая динамику гармонического колебания точки, мы получили, что при гармоническом колебании на материальную точку должна действовать сила упругости ,где произведение постоянных величин мы обозначим через , т. е . В случае колебаний пружинного маятника на тело действует сила упругости , где жесткость пружины, которая и для этого случая должна равняться . Из выражениянайдем частоту колебаний пружинного маят­ника:

Так как , то период колебаний пружинного маятника будет равен:

,

где коэффициент жесткости пружины, амасса колеблющегося тела, т. е. характеристика самой колебательной системы.

? 1. Рассмотрите кинематические, динамические, энергетические характеристики системы при ,.