§ 13. Алгоритм решения задач на закон сохранения импульса.

Итак, наша цель в том, чтобы уточнить реальные условия, при которых можно использовать закон сохранения импульса и сконструировать алгоритм.

Задача 1. Во время маневров на железнодорожной станции две платформы массами кг икг двигались навстречу друг другу со скоростями, модули которых равны 0,5 м/с и 1 м/с. Найдите скорость их совместного движения после того, как сработала автосцепка. Трением пренебречь.

Краткая запись условия задачи: кг, кг, м/с, м/с.

Найти: .

Решение. Решение задачи начнем с установления того факта, что закон сохранения импульса носит векторный характер. Однако при решении любых задач мы пользуемся скалярной формой записи закона, поэтому необходимо помнить правило перехода от векторной формы записи к скалярной.

Итак, выберем систему отсчета – «Земля». Сделаем рисунок, поясняющий условие задачи(рис. 25).

Намереваясь решать задачу на основе закона сохранения импульса, важно понять, что является системой взаимодействующих тел. В данном случае этой системой следует считать две платформы. В итоге закон сохранения импульса в векторном виде запишется следующим образом:

Но можно ли применить этот закон к нашей задаче? Является ли система замкнутой? Для ответа на два вопроса определим, какие силы являются внутренними, а какие — внешними.

Силы, с которыми платформы действуют друг на друга - внутренние, но есть и внешние силы (силы тя­жести и силы реакции опоры, действующие на платформы). Однако проекции внешних сил на ось ОХ равны нулю. Следовательно, можно считать, что при движении вдоль этой оси суммар­ный импульс сохраняется в проекциях на эту ось. Применим закон сохранения импульса на ось OX, используя правило перехода от векторной формы записи к скалярной:

при этом ;;;

(м/с)

Итак, если проекции внешних сил на некоторую ось равны нулю, то суммарный импульс системы в проекциях на эту ось сохраняется.

Выделим теперь основные действия, которые выполнялись при решении этой задачи.

После выбора системы отсчета мы выделили систему взаимо­действующих тел и определили, какие силы являются внутренни­ми, а какие - внешними. Затем применили закон сохранения импульса только для движения вдоль оси ОХ в проекциях на эту ось, так как проекции внешних сил на нее равны нулю. Затем определили значение каждой скорости вдоль оси OX и подставили их в скалярный вид закона. Решили уравнение относительно искомой величины.

Пользуясь этим наброском алгоритма, решим еще одну за­дачу.

Задача 2. Горизонтально летящая пуля массой 10 г, двигаясь со ско­ростью 100 , попадает в лежащий на столе брусок массой 100 г и, пробив его, движется со скоростью 90 . Сравните внешние силы с внутренними и най­дите скорость бруска после пробивания его пулей, считая, что время движения пули в бруске 0,001 с, а коэффициент трения между бруском и столом равен 0,1.

Краткая запись условия задачи: г= 0,01 кг, г = 0,1 кг, ,,с.

Найти: .

Решение. Выберем систему отсчета, как показано на рисунке 26. В качестве системы взаимодействующих тел выберем систему пуля - брусок, приняв пулю в качестве первого тела, а брусок — в качестве второго. Отразим это в индексах величин. Сила, с ко­торой пуля действует на брусок, и сила, с которой брусок действует на пулю, будут внутренними, а сила тяжести пули , сила тя­жести бруска, сила реакции стола и сила трениявнешними. Внешние силы на первый взгляд немаленькие, к тому же вдоль осиОХ действует сила трения; поэтому поступить так, как в предыдущей задаче, нельзя: ведь сила трения . Однако давайте, сравним внешние и внутренние силы.

Для этого найдем силу, с которой брусок действует на пулю. Скорость пули при ее застревании в бруске убывает. Сила, явля­ющаяся силой сопротивления, тоже убывает. Поэтому можно найти среднюю силуF_cp. Тогда по закону Ньютона , где - изменение импульса пули, который менялся от до . Итак,

.

В проекциях на ось ОХ имеем

и тогда

(H)

Мы нашли внутреннюю силу.

Теперь найдем внешние силы: силу тяжести пули Н, силу тяжести брускаH, силу реакции опо­ры со стороны стола Н, силу тренияН.

Сравнение внешних сил с внутренними показывает, что внеш­ние силы много меньше внутренних. Относительно большое зна­чение внутренней силы связано с тем, что время взаимодей­ствия очень мало. Такое кратковременное взаимодействие тел называется ударным (столкновение тел и частиц, разрыв тел на части и т. д.).

Итак, при кратковременных (ударных) взаимодействиях тел внутренние силы во много раз превышают внешние, так что внешние силы не успевают изменить импульс системы. Поэтому внешними силами можно пренебречь и, считая систему замкнутой, применить закон сохранения импульса. Запишем закон сохранения импульса в векторной форме:

Используя правило перехода от векторной формы записи к скалярной получим:

при этом

; ; ;

В итоге имеем:

или

Следовательно,

= 1 ()

Сопоставляя действия, выполненные при решении этих двух задач, нетрудно увидеть их общность и сформулировать алгоритм решения задач на закон сохранения импульса.