§ 12. Общие условия равновесия абсолютно твердого тела. Алгоритм решения задач по статике

Условие равновесия назовем первым, а условие равновесия - вторым.

Объединяя оба условия, можем сформулировать общие условия равновесия твердого тела: для того чтобы тело нахо­дилось в равновесии, необхо­димо, чтобы векторная сумма действующих на него сил и ал­гебраическая сумма моментов этих сил были равны нулю.

Одновременное выполнение обоих условий равновесия по­зволяет с равным правом ис­пользовать каждое из них. Покажем это на примере такой задачи.

Задача 1. Шар массой m подвешен на нити, закрепленной на верти­кальной стенке и образующей с ней угол (рис. 23). Найдите силу, с которой шар действует на стенку. Трением прене­бречь.

Решим задачу двумя спосо­бами: вначале используя только первое условие равновесия, a затем — только второе.

Способ 1. Совместим начало системы координат с центром ша­ра и расположим ее так, как показано на рисунке 23. Шар на­ходится в равновесии под действием трех сил: силы тяжести , силы натяжения нити и силы реакции опоры расположенной перпендикулярно стенке и равной по модулю искомой силе.

Поэтому

.

В проекциях на оси ОХ и OY получаем

откуда

Способ 2. Выберем ось вращения с таким расчетом, чтобы действующие на шар моменты сил включали в себя модули силы тяжести и силы реакции опоры . В качестве такой оси удобно взять ось, проходящую через точкуА перпендикулярно плоскости рисунка. Обозначив через радиус шара, через - плечо силы , а через — плечо силы , выразим моменты этих сил:

, . Так как шар находится в равновесии, то

Как и следовало ожидать, мы получили такой же ответ, что и при решении задачи способом 1.

Но во многих случаях приходится применять оба условия равновесия, потому что использование только одного из них ока­зывается недостаточным для решения задачи. Рассмотрим такую задачу.

Задача 2. Однородная лестница прислонена к идеально гладкой стене. При каком предельном угле наклона лестницы к полу она не будет проскальзывать, если коэффициент трения между полом и лест­ницей равен ?

Выберем систему отсчета, как показано на рисунке 24. На лестницу действуют сила тяжести , приложенная к ее середине, силы реакции опорыи, а также сила трения, которая направлена в сторону, противоположную возможному смещению нижнего конца лестницы. (Это ясно и из того, что если бы сила трения действовала в направле­нии осиОХ, то сумма проекций сил ина эту ось заведомо не была бы равна нулю.)

Применим первое условие равновесия.

Так как лестница находится в равновесии, то можно запи­сать уравнение

,

откуда в проекциях на ось Ох и Оу

Из полученных уравнений проекций нельзя определить ис­комый угол. Поэтому придется использовать также второе ус­ловие равновесия.

Прежде всего нужно выбрать ось, относи­тельно которой должны быть рассчитаны моменты сил. Це­лесообразнее всего ось про­вести через точку А перпен­дикулярно плоскости рисунка, так как в этом случае уравнение моментов будет содер­жать наименьшее число неизвестных (моменты сил и при этом равны нулю). Тогда на лестницу относительно этой оси будут действовать два момента: момент силыс плечоми момент силы с плечом, где— длина лестницы. Учитывая знаки моментов сил, получаем уравнение

.

Это уравнение выполняется при любом угле , если только он не превышает предельного. При уменьшении угламомент силы тяжести будет возрастать, так как при постоянном значении силыее плечо становится больше. Но одновременно в такой же мере должен увеличиваться и момент силы, так как только в этом случае алгебраическая сумма моментов сил и будет равна нулю, что является необходимым условием сохранения лестницей устойчивого положения. Рост момента силыможет происходить только за счет возрастания самой силы, потому что с уменьшением углаплечо этой силы уменьшается. Воз­растание же силыдолжно сопровождаться, как это видно из второго уравнения проекций (для сил), увеличением силы трения. Предель­ное значение силы трения определяется соотношением

.

Учитывая, что

получаем

,

откуда

Если проследить ход наших рассуждений, то можно выделить ряд операций, выполненных при решении задачи. Поскольку они используются и при решении других задач с применением общих условий равновесия, можно сформулировать следующий общий алгоритм решения задач по статике: