Моя работа по физике

§ 18. Свободные колебания математического маятника

Линейка, подвешенная на оси, не проходящей через ее центр, будет колебаться, если ее вывести из положения равновесия. Колеблется на ветру крюк, висящий на тросе подъемного крана. Описание таких колебательных систем легче осуществить, если создать их упрощенную модель и найти законы, описывающие ее поведение. Такой моделью ряда реальных колебательных систем является математический маятник - материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.. Очевидно, что реальный маятник можно уподобить математическому, если масса груза много больше массы нити, размеры груза много меньше длины нити и деформацией нити можно пренебречь.

Математический маятник обладает всеми признаками колебательной системы. Если его отклонить от положения равновесия, то он будет возвращаться в него под действием силы притяжения к Земле. Таким образом, для математического маятника, прежде всего, характерно наличие положения устойчивого равновесия, при выведении из которого возникает сила, стремящаяся вернуть его в состояние равновесия.

Когда тело проходит положение равновесия, для которого смещение х = 0, сила на него действовать не будет. Однако тело не останется в положении равновесия, а будет продолжать двигаться в прежнем направлении. Наличие причины, не позволяющей телу остаться в положении равновесия,— важный признак колебательной системы.

Являются ли колебания математического маятника гармоническими? Вот первая проблема, которую предстоит разрешить, изучив рисунок 39.

Пусть маятник массой m и длиной нити отклонен от положения равновесия (точка C) на угол в точкуB ив этот момент имеет смещение х. Найдем выражение для силы, возвращающей маятник в положение равновесия.

Кроме силы тяжести , намаятник действует сила натяжения нити . Разложим силу тяжести на составляющие, как показано на рисунке 39. Сила направлена по касательной к дуге окружности, к положению равновесия. Найдем её модуль.По рисунку видно, что сила

Учтем, что:

1) угол очень мал, смещение маятника идет по малойдуге окружности;

2) длина нити равна радиусу окружности, которую описывает маятник;

3) длине окружности соответствует угол равный , а дуге окружности – угол (рис. 39).

Из курса геометрии известно, что длина окружности (в нашем случае) равна . Следовательно, смещение. Тогда учитывая, что, можно записать для модуля силы:

Следовательно, сила, действующая на маятник, пропорциональна , т. е. она не является квазиупругой силой. Однако если отклонение от равновесия мало, то , сила . Учитывая, что масса , ускорение свободного падения и длинанити - постоянные величины, можно отношение обозначить k и записать: const. Тогда

(Здесь учитывается, что знаки силы и смещения х всегда противоположны.)

Итак, при малых отклонениях от положения равновесия на математический маятник действует сила, пропорциональная смещению и направленная к положению равновесия, т. е. квазиупругая сила, а потому при малых отклонениях колебания математического маятника являются гармоническими.

А теперь более подробно рассмотрим свободные колебания математического маятника по плану, который использовался в предыдущем параграфе.

Условием осуществления свободных колебаний математического маятника является выведение его из положения равновесия и действие силы , стремящейся вернуть его в положение равновесия.

Прежде чем, перейти к динамическому описанию колебаний рассмотрим модуль и направление смещения, скорости, ускорения, силы при .

Пусть маятник движется из точки В в точку С (рис. 40). Момент времени, когда маятник будет находиться в точке С примем за начальный момент, т. е. .Из рис. 40а видно, что смещение x = 0 при .

Подставим в уравнение(17.2).

(18.1)

Уравнение (17.2) подходит для выбранных начальных условий, поэтому координата действительно меняется по закону синуса. Тогда скорость – по закону косинуса, ускорение – по закону синуса, т.е.

(17.2)

(17.3)

(17.4)

(17.5)

Рассчитаем значения скорости, ускорения, силы, кинетической и потенциальной энергии при

На тело действует квазиупругая сила ,поэтому

Скорость в данном случае направлена от положения равновесия (точка C). Таким образом, в точке C имеем.


		0	0

Кроме того, будем считать, что силы сопротивления на маятник не действуют, т. е. действует только сила .

Динамическое описание этих колебаний состоит в том, что рассматриваем, как меняется сила, координата, скорость и ускорение тела со временем по четвертям периода.

При тело находится в точкеA (рис. 40б). Для нахождения значений подставим в формулы (17.2), (17.3), (17.4), (17.5)

Учитывая, что , получим

(18.2)

В соответствии со вторым законом Ньютона ускорение, как сила при гармоническом колебании, направлено к положению равновесия (рис. 40б). Тогда в соответствии с уравнением (17.5) смещение направлено в сторону, противоположную силе (знак минус в формуле).

Таким образом, в точке А имеем ,,,.

При тело находится в точкеС (рис.40в). Тогда:

Скорость в данном случае направлена от положения равновесия (точка C) (рис. 40в).

Таким образом, в точке С имеем ,,,.Изменение всех этих величин ,рассмотрите самостоятельно.

Энергетическое описание колебаний состоит в том, что рассматриваем, как меняется энергия по четвертям периода.

При тело находится в точкеA

Таким образом, анализируя значения кинетической и потенциальной энергии и, можно следующий вывод.При гармонических колебаниях происходит превращение потенциальной энергии в кинетическую и обратно при сохранении полной механической энергии, если нет сил сопротивления.

Изменение энергии ,рассмотрите самостоятельно.

Амплитуда свободных колебания математического маятника зависит от начальных условий: она тем больше, чем больше начальная скорость или начальная координата.

Выясним теперь, от чего зависит частота свободных колебаний математического маятника.

В основу рассуждений положим ту же формулу, которую мы использовали в предыдущем параграфе: коэффициент k в формуле для силы, обеспечивающей гармонические колебания, равен ,т. е.

Но для математического маятника сила

где

Тогда

и ,

а период

Итак, частота собственных колебаний математического маятника при малых отклонениях определяется только его длиной, т. е. параметром самой колебательной системы, и не зависит ни от массы, ни от амплитуды (была впервые получена на опыте голландским ученым X. Гюйгенсом, современником И. Ньютона).

Зависимость периода колебания маятника от значения ускорения свободного падения g используется на практике. Измеряя периоды колебаний, можно очень точно определить g. Ускорение свободного падения, как вам известно, меняется с географической широтой. Но и на данной широте оно не везде одинаково: ведь плотность земной коры не всюду одинакова. В районах, где залегают плотные породы, ускорение несколько больше. Этим пользуются при поисках полезных ископаемых, например железных руд, которые обладают повышенной плотностью по сравнению с обычными породами.

Собственные колебания. Собственная частота. До сих пор мы считали, что на тело не действуют силы трения, сопротивления. В реальных же колебательных системах они, конечно, действуют. Тем самым мы рассматривали колебания, которые совершались бы в системе после выведения ее из состояния равновесия при отсутствии сопротивления. Такие колебания называются собственными колебаниями системы, а полученное значение частоты, зависящее только от свойств самой системы, называется собственной частотой (т. е. присущей самой системе, если бы ей ничего не мешало колебаться после выведения из равновесия). Свободные колебания можно приближенно считать собственными, если сопротивление пренебрежимо мало.

Теперь учтем действие силы трения на колеблющееся тело. Так как сила трения — сила непотенциальная, то полная механическая энергия тела не будет сохраняться; она будет уменьшаться в соответствии с законом , превращаясь частично во внутреннюю энергию трущихся тел. Это приведет к уменьшению амплитуды колебания, так как полная механическая энергия () зависит от амплитуды; колебания будут затухать.График этих колебаний будет иметь вид, показанный на рисунке 41.

Итак,затухание колебаний состоит в постепенном уменьшении амплитуды колебания из-за действия сил сопротивления, трения. Свободные колебания являются затухающими.

То, как быстро затухают колебания, зависит от величины сил сопротивления. Затухающие колебания не являются гармоническими, для которых, как указывалось ранее, амплитуда постоянна.

Содержание