2.6. Решение уравнений в алгебре множеств.

При решении уравнений в алгебре множеств исходят из того, что: 1) два множества равны тогда и только тогда, когда их симметрическая разность пуста; 2) определяются условия, при которых уравнения имеют решение [23].

Например, XC=D. Преобразуем уравнение к виду (XC)D=Æ. Любое уравнение, в правой части которого указано пустое множество может быть преобразовано в уравнение с декомпозицией по X:

(F₁X)(F₂)=,

где F₁, F₂ – формулы, не содержащие X.

Очевидно, что объединение пусто тогда и только тогда, когда объединяемые множества пусты:

(F₁X)= и (F₂)=.

Два полученных уравнения и исходное уравнение имеют решение тогда и только тогда, когда:

.

Поэтому необходимо определить F₁, F₂, что и является результатом решения уравнения.

Итак, (XC)D=Æ. Декомпозицию по X выполним, с помощью формулы симметрической разности двух множеств, использующей только операции объединения, пересечения и дополнения:

,

где – разность,– разность.

Выполним алгебраические операции:

.

В этой формуле не хватает пересечения скобки с неизвестным множеством (или его дополнением). Его всегда можно ввести, используя пересечение с универсальным множеством, представленным в виде:

.

Далее раскрываем скобки и применяем законы алгебры множеств:

.

Здесь налицо поглощение , поэтому:

.

Выносим за скобку:

.

Обращаем внимание, что , поэтому:

.

Таким образом: , т.е.– это и есть ответ.

Само собой, в этом случае может быть множество решений для конкретных C, D.

Пусть C={2,3,6,9}, D={1,2,3,5,6,7,8,9}. Тогда (CD)={1,5,7,8}D. X может быть, например, таким: X={1,2,5,7,8,9}, т.е. соотношение (CD)XD – выполняется.

Пусть C={2,3,4,6,9}, при том же D={1,2,3,5,6,7,8,9}. Тогда (CD)={1,4,5,7,8} не включается в D={1,2,3,5,6,7,8,9}. В этом случае решения нет!