Математические подходы к подавлению шума.

Фильтрация шума предполагает наличие информации о пикселях, входящих в некоторую окрестность обрабатываемого пикселя. В пределе мы будем использовать информацию о всем изображении. Шумы могут представлять из себя волны, наличие пыли итд.

Пусть x_ij – значение яркости изображения (полезного сигнала) на пересечении i- й строки и j- го столбца. Тогда наблюдаемое на входе фильтра изображение описывается моделью

Здесь n_i,j - значение помехи.

При линейной фильтрации выходной сигнал определяется линейной комбинацией входных данных.

В этом выражении - результат фильтрации полезного сигнала , S – множество координат точек, - весовые коэффициенты, совокупность которых представляет собой двумерную импульсную характеристику. Здесь импульсная характеристика не зависит от координат точки, в которой определяется выходной эффект. Такие процедуры называются однородными.

Наиболее распространённым критерием оптимальности, применяемым для оценки качества изображения, является критерий минимума среднего квадрата ошибок.

Здесь - символ математического ожидания. Математическое ожидание вычисляется по всем случайным величинам, содержащимся в выражении. Оптимизационную задачу сводят к решению системы уравнений. Для этого вычисляют производную от левой части выражения по коэффициенту и приравнивают её 0. Операции дифференцирования суммирования и математического ожидания линейны и поэтому перестановочны

Математические ожидания являются отсчётами корреляционных функций:

Тогда:

Корреляционная функция и взаимно корреляционная функция считаются известными. Приведённое уравнение является линейным относительно коэффициентов . Число неизвестных равно числу точек в окрестности S . Если повторить дифференцирование по остальным неизвестным, то получим ещё уравнений. В результате имеем алгебраических линейных уравнений с неизвестными. В теории фильтрации они называются уравнением Винера – Хопфа.

Решив его, получим значения коэффициентов, определяющих импульсную характеристику линейного фильтра.

Часто при обработке изображений стремятся сохранить среднюю яркость изображения. Достигается это при

Аддитивная модель шума:

При аддитивном шуме обрабатываемый сигнал можно представить в виде следующего выражения: y(t)=s(t)+n(t), где s(t) — исходный речевой сигнал, n(t) — шум. В этом случае спектр зашумленного речевого сигнала также является суммой спектров сигнала и шума. Получить спектр исходного сигнала можно путем вычитания спектра шума из спектра наблюдаемого сигнала.