1.5. Кодування знакозмінної інформації. Коротка характеристика груп кодів, родинних прямому, зворотному, додатковому. Особливості застосування в комп'ютерах

Знакозмінна інформація на числовій осі займає дві ділянки. Ділянка, розташованa праворуч від нуля, використовується для представлення додатніх чисел, ліворуч - для від’ємних.

При кодуванні такої інформації в обчислювальних системах використовуються також дві ділянки числової осі, розташовані праворуч від нуля. Ці ділянки будемо називати відповідно областю зображення додатніх чисел і областю зображення від'ємних чисел. Знак інформації кодується за допомогою додаткового розряду, що є покажчиком відповідної області зображення. Цей розряд, званий знаком, розташовується лівіше старшого значущого розряду (ЗЗР). Якщо молодший значущий розряд (МЗР) має вагу , а СЗР - вага , то знакової розряду присвоюється природна вага .

Існують два принципи кодування знакозмінних величин:

- Принцип зсуву, при якому будь-яка величина з обраного для обчислювального пристрою діапазону подання чисел кодується як

(1.1)

де   - код величини Х, С  - постійна величина, яка називається зсувом;

- Принцип доповнення, коли

(1.2)

де   - Постійна величина, яка називається доповненням.

Пропонуємо такі способи кодування цифрової знакозмінної інформації, що використовують ці принципи.

1. Коди зі зміщенням ( С-Коди):

а) коди зі зміщенням обох областей ( СС-Коди)

(1.3)

б) коди зі зміщенням тільки у від’ємній області ( ZC-Коди)

(1.4)

2. Коди з доповненням ( D-Коди):

а) коди, в яких обидва доповнення відмінні від нуля (DD-Коди),

(1.5)

б) коди, в яких негативні числа доповнюються до нуля ( DZ-Коди),

(1.6)

3. Коди зі зміщенням і доповненням - комбіновані коди ( K-Коди):

а) CD-Код

(1.7)

б) ZD-Код

(1.8)

в) CZ-Код

(1.9)

г) DC-Код

(1.10)

Відзначимо, що значення величин зміщень і доповнень повинні вибиратися з урахуванням таких обмежень:

1) області зображень додатніх і від’ємних чисел не повинні перетинатися;

2) коди для зображень додатніх і від’ємних чисел повинні мати різну інформацію в знаковому розряді.

Виняток допускається тільки при зображенні нуля. Нуль може бути представлений або одним, або двома різними кодами.

З урахуванням викладених обмежень для двійкової системи числення з природним порядком проходження ваг були знайдені всі можливі величини зміщень і доповнень і побудовані відповідно до цього С-, D- і K-коди (таблиця 1.1).

Таблиця 1. 1. Знакозмінні двійкові коди

На рисунках 1.2 - 1.4 наведена геометрична інтерпретація знайдених двійкових кодів і показано зв'язок чисел з їх зображенням (кодами). Крім того, в таблицях 1.2 - 1.4 наведені приклади кодування додатніх та від'ємних граничних значень, ЗЗР, МЗР і нуля.

Рис. 1.2 - Геометрична інтерпретація кодів зі зміщенням

Рис. 1.3 - Геометрична інтерпретація кодів з доповненням

Рис. 1.4 - Геометрична інтерпретація кодів зі зміщенням і доповненням

Таблиця 1. 2. Коди зі зміщенням

Таблиця 1. 3. Коди з доповненням

Таблиця 1. 4. Комбіновані коди

У табл. 1.1 дано найменування відомих кодів у вітчизняній і зарубіжній термінології. Зазначимо, що з шістнадцяти можливих знакозмінних двійкових кодів до теперішнього часу згадувалися лише 10.

Традиційними кодами є прямий ( ZD), зворотний () і додатковий . Зворотний код відрізняється від додаткового вибором іншого значення зсуву   у від’ємній області. Коди ,і  мають інверсний знак. Слід зазначити, що код , який часто називають зсунутим, використовується в ЄС ЕОМ для представлення порядку чисел і в інтегральних цифро-аналогових перетворювачах при організації біполярного режиму роботи.

Отримані коди розділимо на три групи.

1. Коди, родинні прямому ( , , , ). Ця група характеризується тим, що коди додатніх і від’ємних чисел відрізняються тільки значенням знакового розряду. В цих кодах легко виконуються операції зміни знаку числа (інвертування знакового розряду), кодування і декодування чисел, множення і ділення. Недолік таких кодів: неможливість заміни операції віднімання додаванням.

2. Коди, родинні зворотному (, , , ). У цій групі коди додатніх і від’ємних чисел взаємно інверсні, причому цифрові розряди в одній з областей збігаються з оригіналом. В цих кодах зручно виконувати операції зміни знаку числа, кодування і декодування, алгебраїчного додавання. До недоліків відноситься необхідність реалізації циклічного переносу, складність корекції при множенні.

3. Коди, родинні додатковому (, , , , , , , ). Такі коди відрізняються від зворотних кодів одиницею МЗР в одній з областей і характеризуються простотою виконання операції алгебраїчного додавання, але разом з тим утруднені операції зміни знаку, кодування, декодування і множення.

Існування головного переходу поблизу нуля, тобто одночасне зміна цифр у всіх двійкових розрядах при переході через нуль, - загальний недолік кодів, родинних зворотного і додаткового, який обумовлює небажані викиди на виході біполярного ЦАП.

Іншим недоліком, одночасно властивим кодами, родинним прямому і зворотному, є неоднозначність представлення нуля, однак для кодів першої групи відміну є тільки в знаковому розряді. Тому використання в ЦАП і АЦП кодів, родинних прямим, дозволяє одержати більш високу точність перетворення при малих рівнях аналогового сигналу (поблизу нуля).

Як відомо, для додаткового коду розроблені алгоритми множення і ділення, які не потребують введення корекції. Очевидно, що аналогічні алгоритми можна використовувати при виконанні цих операцій в коді , Який представляє собою додатковий код з інверсним знаком (таблиця 1.2).

В ненадлишкових системах числення величини зміщення і доповнення можуть бути рівними - , 0, ,,,. У надлишкових системах числення вибір значень зміщення і доповнення більш широкий. Так, наприклад, в двійково-десятковій системі числення 8421 існує безліч   кодів, в яких величина зміщення негативній області С ₂ може приймати наступні значення (таблиця 1.5):

,

,

(Інверсний код),

 (Додатковий код),

 (Код з потетрадного доповненням до 16).

Таблиця 1. 5. Деякі знакозмінні двійково-десяткові коди системи числення 8421

У таблиці 1.5 не внесені коди, аналогічні відповідними кодами ненадлишкових систем числення таблиця 1.1, наприклад коди , та ін. Операція зміни знака в цих кодах вимагає не двійкової інверсії, а потетрадного доповнення до 9. З кодів, зазначених *, можна отримати коди, родинні додатковим, збільшенням   на

З перерахованих ZC  кодів найчастіше застосовуються перші два, так як вони пов'язані з традиційними правилами отримання зворотних і додаткових кодів в десяткових системах числення. Як відомо, в ЄС ЕОМ при виконанні операції додавання двійково-десяткових чисел з різними знаками застосовується код

Розглянемо деякі CC-коди двійково-десяткових систем числення. Так, наприклад, у системі числення 8421 вибір зміщення в додатній області   можливий в межах від   до , а у від'ємній області  - від до .

Для спрощення операції зміни знаку числа зручно користуватися так званими інверсними кодами, в яких коди від'ємних чисел виходять з кодів додатніх чисел заміною нулів одиницями і одиниць нулями у всіх розрядах, включаючи знаковий.

Необхідна умова існування інверсного коду системи числення 8421 має вигляд

.

В будь-який іншій двійково-десятковій системі числення, що має вагу розрядів -й тетради ,,,інверсний код отримаємо, якщо при виборі величин зміщень и  задовольняється співвідношення

Реалізація алгоритмів десяткової арифметики спрощується при використанні так званих самодоповнювальних кодів, тобто таких кодів, в яких заміна в числових розрядах нулів одиницями і одиниць нулями перетворює число X  в число .

Природно, що самодоповнювальні (з доповненням до 9 в кожній тетраді) коди двійково-десяткових систем, в яких , виходять при виборі величини зміщення додатній області , наприклад відомі самодоповнювальні коди систем числення 2421, 3321,   і т.п.

В будь-якій іншій системі числення, коли , самодоповнювальний код виходить при певному виборі зміщення позитивній області . Якщо сума ваг такої системи числення непарна, величину зміщення позитивній області вибирають за формулою

 Так, наприклад, у системі числення 8421, що має , Самодоповнювальний код отриманий при виборі величини зміщення позитивній області .

Цей код називають кодом 8421 + 3, або з надлишком 3. Інверсний код з надлишком 3 виходить при виборі величини зміщення .

Як відомо, код з надлишком 3, що представляє собою зміщений код системи числення 8421, до теперішнього часу відносили до класу «невиважених» кодів систем числення, в яких ваги окремих розрядів мають «змінна» значення.

Система числення 6421 має суму ваг . Якщо в цій системі числення вибрати і, Отримаємо самодоповнювальний інверсний код 6421 + 2 (з надлишком 2). Аналогічно, в системі числення 4421 є самодоповнювальний інверсний код 4421 + 1 (з надлишком 1).

Якщо сума ваг парна, можна в такій системі побудувати самодоповнювальний код з доповненням до 9 в кожній тетраді, в якому заміна в числових розрядах нулів одиницями і одиниць нулями перетворює число X  в число , якщо величину зміщення позитивній області   вибрати рівною

 Аналогічно серед групи D-кодів двійково-десяткових систем числення можуть бути знайдені самодоповнювальні. Якщо сума ваг системи числення дорівнює 9, самодоповнювальний код в такій системі числення отримуємо при виборі величини зміщення

.

Якщо   непарна, самодоповнювавльнийя код виходить при виборі величини зміщення

Наприклад, у системі числення 8421 самодоповнювальний код виходить, якщо вибрати величину зміщення , а в системі числення 6421 - при .

У розвиток викладеного відзначимо, що система числення 2421 може бути інтерпретована як один з кодів системи числення 8421, в якому додатня область розбивається на дві частини, для кожної з яких вибирається своя величина зсуву: ,. При такому підході умова отримання інверсних кодів зберігається, якщо замість  і  у вираз (1.11) підставляти ідля  Систему числення 6421 можна розглядати як один з кодів системи числення 8421, у якого ,.

Сформульовані правила отримання самодоповнювальних й інверсних кодів значно розширюють наші уявлення про принципи кодування знакозмінної двійково-десяткового інформації, дозволяють встановити взаємозв'язок між різними кодами двійково-десяткових систем числення, спрощують знаходження формул декодування, якими зручно користуватися при синтезі біполярних цифро-аналогових перетворювачів. Так, наприклад, код з надлишком 3 являє собою -код системи числення 8421, завдяки чому були знайдені математичні вирази, що описують операцію декодування, з використанням яких були побудовані декодуючі сітки й перетворювачі коду 8421 + 3 в пропорційне напругу.

Розглянемо систему залишкового класу, в якому основи - 7,5,3.

Q = p ₃ p ₂ p ₁ = 105

Додавання виконується без переносів

Переклад з СЧ залишкових класів в класичну позиційну СЧ.

1. метод ортогональних базисів

Для представлення негативних чисел можна використовувати також і двійкову систему числення, в якій спеціальний знаковий розряд відсутній. У такій системі числення підставу p = -2, у зв'язку з чим така система називається мінус двійковій СЧ. За допомогою чотирьох двійкових розрядів у звичайній системі можна представити числа від 0 до 15, в мінус двійковій системі - числа від -10 до +5.

У цій системі числення позитивне число буде мати в старшому парному розряді одиницю. Від’ємнне число буде мати одиницю в старшому непарному розряді. Так як вага переносу зі i-го розряду в сусідній, старший розряд має зворотний знак, то він реалізується таким чином: якщо в старшому розряді в результаті складання виходить 1, то вона цим перенесенням гаситься (змінюється на нуль), якщо ж у старшому розряді виявився 0, то таке перенесення роздвоюється: додається одиниця в старший і наступний за ним розряди.