3.2.7. Лагранжева интерполяция

Определим ниже базис Лагранжа (Жозеф Луи Лагранж (1736-1813), уроженец Турина) получается заменой базиса, которая приводит к точно такому же интерполянту, однако для нового базиса матрица будет единичной.

Предположим, что у нас есть набор функций , каждая из которых является полиномом степени , а также удовлетворяет условию

Иными словами, принимает значение 1 в точке и равна нулю во всех других точках . (Отметим, и , указанные в начале этого раздела, обладают таким свойством.) Любая линейная комбинация функций снова является полиномом степени . Рассмотрим в частности,

.

Из свойств следует, что

.

Поэтому является интерполяционным полиномом, а поскольку такой полином единственный, это эквивалентно решению линейной системы. При этом

.

Лагранжева интерполяция по трём заданным точкам

.

В виду сложности вычисления коэффициентов их можно вычислять раздельно для полиномов с при ординатах.

При нормировке

,

где разность абсцисс соседних узлов,

.

Вычисление коэффициентов полинома Лагранжа при трёх ординатах :

.

Вычисление коэффициентов полинома Лагранжа при четырёх ординатах и :

.

Вычисление коэффициентов полинома Лагранжа при пяти ординатах и :

.

Вычисление коэффициентов полинома Лагранжа при шести ординатах и :

.

Пример.

program PLagrang;

{вычисление полинома Лагранжа в n+1 узле интерполяции}

Uses Crt;

Const

M=15;

Type

RealType = Real;

Vec=Array[0..M] of RealType;

Var