3.2.5. Построение других базисных функций

Если в линейном интерполянте в качестве базисных функций выбрать

Тогда получится матрица

,

т. е. единичная матрица и где

Решением системы уравнений будут и . Поскольку существует только один многочлен первой степени, проходящий через две различные точки, а это значит, что можно записать

;

одно выражение есть просто алгебраическое преобразование другого.

Другие изменения, которые мы можем сделать, это переставить и так, что , или заменить и на сумму и разность: и . Любая замена функций на другой набор независимых функций, которые являются линейными комбинациями исходных, не влияет на получающийся интерполянт и называется заменой представления или заменой базиса.

Замена базиса может быть полезной, если она приводит к более простому выражению или даёт дополнительное представление о задаче.