Лекция_3(Интерполяция)

3.2.18. Интерполяционный многочлен Эверетта

Исключив из интерполяционной формулы (G^*) разности нечётного порядка, получим важную формулу Эверетта:

, (E)

где , а разности, используемые в формуле, подчёркнуты в таблице

3.2.19. Интерполяционный многочлен Бесселя

Приведём формулу Бесселя

Здесь

3.2.20. Тригонометрическое интерполирование

Периодические функции интерполируют тригонометрическими многочленами вида:

Общее решение интерполяционной задачи даёт многочлен

где

Выражение существенно упрощается в случае равноотстоящих узлов

Именно:

Для чётных периодических функций интерполяционный многочлен имеет вид

Для нечётных периодических функций интерполяционный многочлен имеет вид

3.2.21. Ортогональные многочлены

Свойство ортогональности многочленов

Если, кроме того,

то говорят, что многочлены образуют отро-нормированную систему.

Ортогональные многочлены являются специальными решениями линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.

3.2.22. Вычисление коэффициентов ортогонального многочлена Лагерра

Коэффициенты ортогонального многочлена Лагерра вычисляются по формуле

Вычисление значений многочлена Лагерра по рекуррентной формуле

Многочлены Лагерра. Примеры:

3.2.23. Вычисление коэффициентов ортогонального многочлена Лежандра

Коэффициенты ортогонального многочлена Лежандра вычисляются по формуле

Пример. .

Вычисление значений многочлена Лежандра по рекуррентной формуле

Многочлены Лежандра. Примеры:

3.2.24. Вычисление коэффициентов ортогональных многочленов Эрмита

Коэффициенты ортогонального многочлена Эрмита вычисляются по формуле

Пример. .

Вычисление значений многочлена Эрмита по рекуррентной формуле

Многочлены Эрмита. Примеры:

3.2.25. Вычисление коэффициентов ортогональных многочленов Чебышева

Коэффициенты ортогонального многочлена Чебышева при вычисляются по формуле

Пример. (коэффициенты округляются до целых чисел).

Многочлены Чебышева первого рода и второго рода вычисляются непосредственно по этим формулам или по рекуррентным соотношениям (последние дают меньшую погрешность).

Вычисление значений многочлена Чебышева по рекуррентной формуле

Свойства многочленов Чебышева.

При четном (нечетном) многочлен содержит только четные (нечетные) степени .
Старший коэффициент многочлена при равен .
имеет действительных корней в интервале , выражаемых формулой

, причем

где .

Многочлен ,

среди всех многочленов й степени со старшим коэффициентом, равным единице, имеет на отрезке наименьшее значение максимума модуля, т.е. не существует такого многочлена й степени со старшим коэффициентом, равным единице, что

Многочлены Чебышева. Примеры:

Содержание