3.2.18. Интерполяционный многочлен Эверетта

Исключив из интерполяционной формулы (G^*) разности нечётного порядка, получим важную формулу Эверетта:

, (E)

где , а разности, используемые в формуле, подчёркнуты в таблице

3.2.19. Интерполяционный многочлен Бесселя

Приведём формулу Бесселя

Здесь

3.2.20. Тригонометрическое интерполирование

Периодические функции интерполируют тригонометрическими многочленами вида:

Общее решение интерполяционной задачи даёт многочлен

,

где

.

Выражение существенно упрощается в случае равноотстоящих узлов

.

Именно:

.

Для чётных периодических функций интерполяционный многочлен имеет вид

.

Для нечётных периодических функций интерполяционный многочлен имеет вид

.

3.2.21. Ортогональные многочлены

Свойство ортогональности многочленов

.

Если, кроме того,

,

то говорят, что многочлены образуют отро-нормированную систему.

Ортогональные многочлены являются специальными решениями линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.

3.2.22. Вычисление коэффициентов ортогонального многочлена Лагерра

Коэффициенты ортогонального многочлена Лагерра вычисляются по формуле

.

Вычисление значений многочлена Лагерра по рекуррентной формуле

.

Многочлены Лагерра. Примеры:

3.2.23. Вычисление коэффициентов ортогонального многочлена Лежандра

Коэффициенты ортогонального многочлена Лежандра вычисляются по формуле

.

Пример. .

Вычисление значений многочлена Лежандра по рекуррентной формуле

.

Многочлены Лежандра. Примеры:

3.2.24. Вычисление коэффициентов ортогональных многочленов Эрмита

Коэффициенты ортогонального многочлена Эрмита вычисляются по формуле

.

Пример. .

Вычисление значений многочлена Эрмита по рекуррентной формуле

.

Многочлены Эрмита. Примеры:

3.2.25. Вычисление коэффициентов ортогональных многочленов Чебышева

Коэффициенты ортогонального многочлена Чебышева при вычисляются по формуле

.

Пример. (коэффициенты округляются до целых чисел).

Многочлены Чебышева первого рода и второго рода вычисляются непосредственно по этим формулам или по рекуррентным соотношениям (последние дают меньшую погрешность).

Вычисление значений многочлена Чебышева по рекуррентной формуле

.

Свойства многочленов Чебышева.

1. При четном (нечетном) многочлен содержит только четные (нечетные) степени .

2. Старший коэффициент многочлена при равен .

3. имеет действительных корней в интервале , выражаемых формулой

.

4. , причем

,

где .

5. Многочлен ,

среди всех многочленов й степени со старшим коэффициентом, равным единице, имеет на отрезке наименьшее значение максимума модуля, т.е. не существует такого многочлена й степени со старшим коэффициентом, равным единице, что

Многочлены Чебышева. Примеры: