3.2.13. Кривые Безье. Сплайны

Важной задачей в машинном проектировании является функциональное описание кривой (или поверхности), заданной графически. Введем множества функций, называемых базисными функциями Бернштейна. Предположим, что все точки данных находятся в интервале . Тогда я базисная функция Бернштейна является полиномом степени вида

.

Например, для четыре кубические функции базиса Бернштейна имеют вид

На самом деле для вычисления значения берншейновской базисной функции в точке определение не применяют. Вместо этого используют рекуррентные формулы

,

которые менее чувствительны к ошибкам округления.

Поскольку каждая функция представляет собой полином степени , то и их линейная комбинация

является таким же полиномом.

Основная идея – определение графически. С этой целью ставят в соответствие каждому на плоскости точку , которая называется управляющей точкой, при этом . По этим точкам строят ломаную Безье.

Одна трудность, связанная с этим подходом, состоит в том, что невозможно сдвигать управляющие точки вправо или влево. Как только выбрано , точки фиксируются. Чтобы обеспечить такую возможность, сделаем обобщение. Пусть - точка на плоскости; определить векторную кривую Безье

.

Когда изменяется от до , кривая описывает траекторию на плоскости, начинающуюся в и кончающуюся в . В этом варианте могут быть произвольными точками, т. е. - это просто параметр, изменяющийся вдоль кривой.

Для многих приложений полезно уметь записывать интерполянт в виде линейной комбинации функций, которые сами являются сплайнами - это сплайны (кусочно-полиномиальная функция с двумя непрерывными производными).

Коэффициенты при сплайнах имеют физическое значение, аналогичное коэффициентам кривой Безье.