3.2.10. Кусочно-кубическая интерполяция

Кусочно-линейная интерполяция решает одну проблему, возникающую при полиномиальной интерполяции, – она обладает сходимостью, но порождает при этом другую проблему – недостаток гладкости: график имеет изломы. Поэтому для улучшения гладкости используют кусочно-полиномиальные функции более высокого порядка.

Кусочно-кубическим интерполянтом является кусочно-кубическая функция, которая интерполирует данные.

Требования, чтобы кусочно-кубическая функция проходила через заданные точки, недостаточно для единственности (возможны несколько кусочно-кубических интерполянтов), но если наложить условие некоторой гладкости, то можно получить единственный интерполянт.

Построить более гладкий интерполянт – это значит построить интерполянт с большим числом непрерывных на производных.

Эрмитовым кубическим интерполянтом называется кусочно-кубический интерполянт с непрерывной производной.

Кубическим сплайном называется кусочно-кубический интерполянт с двумя непрерывными производными.

Оба типа интерполянтов важны для приложений.

Сегодня известны и применяются сплайны как низких, так и более высоких степеней. Однако наиболее популярны по-прежнему кубические сплайны.

Поскольку третья производная кубической функции постоянна, то любая кусочно-кубическая функция с тремя непрерывными производными в каждом узле должны быть в точности одной и той же кубической функцией на всех интервалах, т. е. на всех интервалах используется один и тот же кубический сплайн, а не разные.

Один полином третьей степени нельзя провести более чем через четыре точки, поэтому для обеспечения гладкости интерполирующей функции, требуют непрерывности в узлах не более двух производных. Требование непрерывности третьей производной, вообще говоря, в задачах интерполяции предъявлять нельзя