4.1. Поняття систем числення в мікропроцесорній техніці

Система числення – це сукупність правил запису чисел.Розрізняють

позиційні та непозиційні системи числення.

Основною характеристикою позиційних систем числення є її основа q, яка визначає кількість різних символів e, що використовуються для запису чисел.

Основа системи числення визначає також старший символ (старшу цифру) e , який може бути використаний в ній: e = q -1.

В позиційних системах числення ціле позитивне число Е записується в

вигляді послідовних символів:

Е = (e e e … e …e e e ) ,

а вага кожного символу в цій послідовності визначається його позицією в запису числа і дорівнює q , де q - основа система числення; е –довільний символ системи числення; n – кількість позицій (розрядів) символів в запису числа; і – довільна позиція символу в запису (позиція відраховується і зростає

в запису числа з права на ліво).

Позиційна система числення дозволяє виконувати так званий розгорнутий

запис числа, коли значення числа надається у вигляді суми чисел, кожне з яких дорівнює добутку символу числа в певній позиції (розряді) на його вагу в цій позиції. Тобто, довільне число Е в позиційній системі числення з основою q можна записати у вигляді:

Е = (e … e … e ) =e q + e q +…+e q +…+e q + e q +e q =

= e *q .

Розгорнута форма запису є формулою, яка дозволяє перевести довільне ціле число в будь-якій позиційній системі числення в десяткову систему числення. Але, при визначенні суми за цією формулою, символи (цифри) e та основа системи числення q повинні бути надані в десятковій системі числення.

Максимальне значення числа Е для n – розрядного числа в позиційній системі числення отримується при запису в усіх його розрядах старшого символу (цифри) e = q -1:

Е = ( q -1 ) * q .

Із цієї формули витікає, що в позиційній системі числення для n– розрядного числа існує q різних чисел, які не повторюються, включаючи нуль.

В звичайній нам десятковій системі числення q = 10 і використовується 10

символів «е», які визначають цифри від 0 до 9.

Старша цифра e = q -1 = 10-1= 9. А розгорнута форма запису

довільного трьох розрядного числа, наприклад, Е =234 , має вигляд:

Е = 2* 10 + 3* 10 + 4* 10 = 2*100 + 3*10 + 4 *1 = 200 + 30 + 4 = 234.

В мікропроцесорній техніці для надання інформації в мікропроцесор для її обробки і при його програмуванні використовуються, в доповнення до десяткової системи числення, двійкова, вісімкова та шістнадцяткова системи числення.

Основою двійкової системи числення є число 2 (q= 2) і використовуються тільки дві цифри (символи) – 0 та 1, яка э старшою цифрою в цій системі числення. Основою вісімкової системи числення є число 8 (q= 8) і використовуються 8 символів: цифри від 0 до 7 а старша цифра в цій системі числення e = q -1 =7. В шістнадцятковій системі числення (q= 16) використовуються 16 символів: 10 цифр десяткової системи від 0 до 9, а також 6 прописних букв латинського алфавіту від літери А до F, які відповідають таким числам десяткової системи числення: A - 10, B - 11, C - 12, D - 13, E - 14 та F -15. Старший цифра - символ F.

Всі пристрої обчислювальної техніки та мікропроцесорні пристрої на рівні машинних кодів опрацьовують цифрову інформацію виключно в двійковій системі числення.

Використання двійкової системи числення пояснюється тим, що, по-перше, вона добре співвідноситься з технічними характеристиками цифрових схем, які мають лише два стійких стани - високий та низький (фізичну суть побудови яких ми вже розглянули); по-друге, зручностями запису, зберігання і простоти вводу двійкових чисел в ці пристрої (потрібно тільки скинути в нульовий стан тригер, або навпаки – взвести його в стан високого рівня на виході), по-третє, арифметичні дії з двійковими числами набагато простіші, ніж із десятковими, що спрощує побудову обчислювальних пристроїв.

Числа, які записані в двійковій системі, займають більше позицій, більш громіздкі в запису і не зручні читання їх людиною. Для скорочення запису двійкових чисел та спощення запису кодів чисел використовують вісімкову та шістнадцяткову системи числення. Вибір цих систем числення обумовлений тим, що число 8 = 2 , а 16 = 2 .

Вісімкова та шістнадцяткова системи числення використовуються при

програмуванні та при поданні і опрацюванні даних в ЕОМ та МПС.

В мікропроцесорній техніці використовується також двійково-десяткова система числення, яка є непозиційною. Числа, які наданні в ній використовуються, в основному, тільки при вводі і виводі даних із мікропроцесора, і вони відповідним чином перетворюються в двійкову систему чи навпаки, а також при виконання мікропроцесором операцій за правилами десяткової арифметики..

Таблиця еквівалентності кодів між систамими числення.

(8-ве, 10-ве, 16-ве) двійкове 10-ве 16-ве двійкове 8-ве

(q= 8, q=10, q= 16) q= 2 q= 10 q= 16 q= 2 q= 2

0 0000 8 8 1000 10

1 0001 9 9 1001 11

2 0010 10 A 1010 12

3 0011 11 B 1011 13

4 0100 12 C 1100 14

5 0101 13 D 1101 15

6 0110 14 E 1110 16

7 0111 15 F 1111 17

16 10 10000 20

Запишемо коди чисел у вісімковой (q= 8), шістнадцятковій (q= 16) та

двійковій (q= 2) системах числення, які відповідають першим 16-ти цифрам десяткової (q= 10) системи числення.

Перші вісім символів від 0 до 7 для 8-вої, 10-вої та 16-вої систем числення співпадають. Розбіжності починаються із символу 8 десяткової системи числення (див. табл.еквівалентності кодів).

При запису двійкових чисел, які відповідають десятковим числам, використовуємо позицію цифер.

Для перших двох десяткових чисел все просто: нулю та одиниці десяткової системи числення – відповідають 0 та 1 двійкової. Для десяткового числа два вже не залишилось невикористаних символів в двійковій системі числення. Тому для його запису в двійковій системі числення використовується позиція цифр, тобто, числа зображують не одним, а декількома послідовними символами (розрядами). Теж саме ми використовуємо в десятковій системі при переході від 9 до 10. Тоді пишемо для цифри 2 в двійковій системі - 0 в крайній розряд справа, і задіюємо новий старший розряд зліва куди записуємо 1 і дістаємо число 10. Для числа десяткового числа три – замінюмо 0 в крайньому правому розряді на 1 і отримуємо число 11. Для десяткового числа чотири – потрібно використати ще одну позицію зліва і дістаємо число 100. Міркуючи аналогічно визначимо, що десятковим числам відповдають: 5 – 101; 6 – 110; 7 – 111; а числу 8 відповідає двійкове 1000. Числу 9 відповідає двійкове 1001 і т.д..