Двоичное представление отрицательных целых чисел. Дополнительный код

Старший бит в целых без знака имеет обычный смысл, в целых со знаком – для положительных чисел всегда равен 0. В отрицательных числах старший бит всегда равен 1. В примерах для простоты мы будем рассматривать четырехбитную арифметику. Тогда в качестве примера целого положительного числа можно привести 0110₂.

Для хранения отрицательных чисел используется дополнительный код. Число (– n), где n положительно, переводится в число n2=-n по следующему алгоритму:

• этап 1: сначала число n преобразуется в число n1 путём преобразования , во время которого все единицы числа n заменяются нулями, а нули единицами, то есть ;

• этап 2: перевод , то есть к получившемуся числу n1 добавляется единица младшего разряда.

Надо отметить, что дополнительный код отрицательных чисел зависит от разрядности. Например, код числа (–1) в четырёхразрядной арифметике будет , а в 8-разрядной арифметике будет . Коды числа (–2) будут и , и так далее.

Для того, чтобы понять причину использования дополнительного кода, рассмотрим сложение чисел, представленных в дополнительном коде.

Сложение положительного и отрицательного чисел

Рассмотрим, чему равна сумма числа 1 и числа –1, представленного в дополнительном коде. Сначала переведём в дополнительный код число –1. При этом n=1₁₀, n₂= –1_10.

Этап1: n=1₁₀=0001₂ n1=1110₂;

Этап2: n2=1110₂+1=1111₂;

Таким образом, в четырёхбитном представлении –1₁₀=1111₂.

Проверка:

n2+n=10000₂. Получившийся пятый разряд, выходящий за пределы четырехбитной ячейки, отбрасывается, поэтому в рамках четырехбитной арифметики получается n2+n=0000₂=0.

Аналогично

n=2₁₀=0010₂ n1=1101₂; n2=1110₂;

n=3₁₀=0011₂ n1=1100₂; n2=1101₂;

n=4₁₀=0100₂ n1=1011₂; n2=1100₂;

Очевидно, во всех этих случаях n2+n=0.

Что будет, если мы сложим 3₁₀ и –2₁₀ (равное 1110₂, как мы уже знаем)?

После отбрасывания старшего бита, выходящего за пределы нашей четырёхбитовой ячейки, получаем 0011₂ + 1110₂=0001₂, то есть 3₁₀ + (–2₁₀)=1₁₀, как и должно быть.

Сложение отрицательных чисел

из-за отбрасывания лишнего старшего бита, выходящего за пределы ячейки. Поэтому .

Вычитание положительных чисел осуществляется путём сложения положительного числа с отрицательным, получившимся из вычитаемого в результате его перевода в дополнительный код.

Приведенные примеры иллюстрируют тот факт, что сложение положительного числа с отрицательным, хранящимся в дополнительном коде, или двух отрицательных, может происходить аппаратно (что значит очень эффективно) на основе крайне простых электронных устройств.