Двоичное представление положительных целых чисел

Целые числа в компьютере обычно кодируются в двоичном коде, то есть в двоичной системе счисления. Например, число 5 можно представить в виде . Показатель системы счисления принято записывать справа снизу около числа.

Аналогично, , , , , , и так далее. Всё очень похоже на обозначение чисел в десятичной системе счисления: . Но только в качестве основания системы счисления используется число . У чисел, записанных в десятичной системе счисления, индекс 10 обычно не пишется, но его можно писать. Так что , , и так далее.

В двоичной арифметике всего две цифры, 0 и 1. Двоичный код положительного целого числа – это коэффициенты разложения числа по степеням двойки.

Умножение числа на двоичное десять, то есть на , приводит к дописыванию справа нуля в двоичном представлении числа. Умножение на двоичное сто, то есть на - дописыванию двух нулей. И так далее.

Целочисленное деление на с отбрасыванием остатка производится путём отбрасывания последнего (младшего) бита, деление на - отбрасывания двух последних бит, и так далее.

Обычно такие операции называют побитовыми сдвигами на n бит влево (умножение на ) или вправо (целочисленное деление на ).

Сложение двоичных чисел можно производить “в столбик” по полной аналогии со сложением десятичных чисел. Единственное отличие – то, что в двоичной арифметике только две цифры, 0и1, а не десять цифр (от 0 до 9) как в десятичной. Поэтому если в десятичной арифметике единицу более старшего разряда даёт, к примеру, сложение 1 и 9, то в двоичной арифметике её даст сложение 1 и 1. То есть

(в десятичной системе это равенство выглядит как 1+1=2). Аналогично, , и так далее.

Примеры сложения “в столбик”:

Совершенно аналогично выполняется умножение:

В машинной реализации целочисленного умножения используют побитовые сдвиги влево и сложения. Поскольку эти алгоритмы очень просты, они реализуются аппаратно.