Понятие нечеткого высказывания и нечеткого предиката

Элементарное нечеткое высказывание – повествовательное предложение, выражающее законченную мысль, относительно которой мы можем судить о ее истинности или ложности только с некоторой степенью уверенности. Будем обозначать A,B,C,D.

Истинность в интервале интервала [0,1], 0 — ложь, 1 — истина.

Для оценки степени истинности произвольного нечеткого высказывания вводится специальное отображение – отображение истинности нечетких высказываний T:U [0,1], где U – множество рассматриваемых нечетких высказываний. Тогда истинность произвольного нечеткого высказывания A U обозначается T(A).

Нечеткий предикат P(<x₁,x₂,…,x_k>) есть отображение P: X₁X₂… X_k  [0,1]. Декартово произведение X₁X₂… X_k называется предметной областью предиката, а переменные x₁,x₂,…,x_k – предметными переменными.

Нечеткий вывод реализуется на основе использования нечетких продукционных правил.

Правило нечеткой продукции. В общем случае под нечеткой продукцией понимается выражение вида

(i):Q,P,AB;S,F,N

(i) – имя нечеткой продукции, Q – сфера применения нечеткой продукции, P – условие применимости ядра нечеткой продукции, AB – ядро нечеткой продукции, в котором A – условие ядра (антецедент), B – заключение ядра (консеквент),  - знак логической секвенции, S – метод определения количественного значения степени истинности заключения ядра; F – коэффициент определенности или уверенности нечеткой продукции, N – постусловия продукции.

Имя продукции (i) – совокупность букв или символов, позволяющая однозначным образом идентифицировать продукцию в системе.

Сфера применения продукции Q описывает явно или неявно предметную область знания, которую представляет отдельная продукция. Декомпозиция предметной области на отдельные независимые области может существенно повысить эффективность рассуждений в продукционной системе.

Условие применимости ядра продукции P представляет собой логическое выражение (как правило, предикат). Если оно присутствует в продукции, то активизация ядра становится возможной в случае только в случае его истинности.

Ядро нечеткой продукции AB является центральным компонентом нечеткой продукции, A и B – выражения нечеткой логики (элементарные или составные нечеткие высказывания)

S – метод определения количественного значения степени истинности заключения B на основе известного значения степени истинности условия A. Данный способ определяет алгоритм нечеткого логического вывода (называется также методом композиции, или методом активации).

F – коэффициент уверенности (весовой коэффициент нечеткого правила, принимает значения из интервала [0,1]) выражает количественную оценку степени истинности или относительный вес нечеткой продукции.

Постусловие продукции описывает действия и процедуры, которые необходимо выполнить в случае реализации ядра продукции, т.е. получения информации об истинности B. Характер этих действий может быть самым различным и отражать вычислительный или иной аспект продукционной системы

Продукционная нечеткая система представляет собой некоторое согласованное множество отдельных нечетких продукций «ЕСЛИ A то B».

Прямой метод (метод прямой нечеткой цепочки рассуждений) основан на использовании нечеткого обобщения правила вывода модус поненс FMP.

Классическая импликация AB в нечетком модус поненс заменяется на правило нечеткой продукции: «ЕСЛИ x ЕСТЬ A, ТО y ЕСТЬ B», где A и B – нечеткие множества, а само правило нечеткой продукции представляет некоторое нечеткое отношение между переменными x и y, где xX и yY.

Классическая посылка A правила МП заменяется на нечеткое условие «x ЕСТЬ A' » , где A' – нечеткое множество, отражающее знания о реальном значении переменной x.

Объединение правила нечеткой продукции и нечеткого условия позволяет получить новую информацию о значении переменной y в форме «y ЕСТЬ B' ». При этом заключение по правилу FMP получается как функция принадлежности нечеткого множества B' на основе функции принадлежности условия A' и функции принадлежности нечеткой импликации как соответствующего нечеткого отношения с использованием одного из методов нечеткой композиции.

Применительно к системам нечетких продукций прямой метод вывода реализуется путем преобразования фактов предметной области в нечеткие множества с конкретными функциями принадлежности. После этого находятся функции принадлежности заключений правых частей по каждому из правил нечетких продукций. Эти значения функций принадлежности либо являются искомым результатом вывода (в случае получения функции принадлежности целевого заключения), либо используются в виде условий для следующих шагов логического вывода. Процесс вывода останавливается либо в случае отсутствия активных правил нечетких продукций, либо в случае получения функции принадлежности заключения, являющегося целью вывода. В последнем случае функция принадлежности заключения характеризует успех процесса вывода и решение поставленной проблемы.

Обратный метод вывода (метод нечеткого нисходящего вывода) основан на использовании нечеткого обобщения правила вывода Модус толленс. Суть нечеткого модус толленс заключается в следующем.

Классическая импликация AB в нечетком модус толленс заменяется на правило нечеткой продукции: «ЕСЛИ x ЕСТЬ A, ТО y ЕСТЬ B», где A и B – нечеткие множества, а само правило нечеткой продукции представляет некоторое нечеткое отношение между переменными x и y, где xX и yY.

Классическое заключение B правила МT заменяется на нечеткое заключение «y ЕСТЬ B'? » , где B' – нечеткое множество, не равное B.

Целью вывода является установление истинности условия правила нечеткой продукции «x ЕСТЬ A'? ». В этом случае заключение по правилу НМТ получается как функция принадлежности нечеткого множества A' на основе функции принадлежности заключения B' и функции принадлежности нечеткой импликации как соответствующего нечеткого отношения с использованием одного из методов нечеткой композиции.

Основные логические операции с нечеткими выскзываниями

Логическое отрицание. Отрицанием нечеткого высказывания A называется унарная логическая операция A , результат которой является нечетким высказыванием, истинность которого определяется выражением

T(A)=1-T(A)

Логическая конъюнкция. Конъюнкцией нечетких высказываний A и B называется бинарная логическая операция AB называется бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием, истинного которого определяется по формуле:

T(AB)=min { T(A), T(B)}.

Логическая дизъюнкция. Дизъюнкцией нечетких высказываний A и B называется бинарная логическая операция AB, результат которой является нечетким высказыванием, истинного которого определяется по формуле:

T(AB)=max { T(A), T(B)}.

Нечеткая импликация. Импликацией нечетких высказываний A и B называется бинарная логическая операция AB (A  B, «из A следует B», «если A, то B»), результат которой является нечетким высказыванием, истинность которого определяется по одной из следующих формул (вообще их около 100):

Классическая нечеткая импликация Заде:

T(AB)=max {min {T(A),T(B),1-T(A)}}

Нечеткая импликация Мамдани:

T(AB)= min {T(A),T(B)} в случае T(A)0.5, T(B)0.5 классичская нечеткая импликация превращается в импликацию Мамдани.

T(B) в противном случае

Нечеткая эквивалентность. Эквивалентностью нечетких высказываний A и B называется бинарная логическая операция AB (A  B, «из A следует B», «если A, то B»), результат которой является нечетким высказыванием, истинность которого определяется по следующей формуле:

T(AB)=min {max {T(A),T(B)}, max{T(A), T(B)}}

Этапы нечеткого вывода:

Основными этапами нечеткого вывода являются:

• формирование базы правил систем нечеткого вывода;

• фаззификация входных переменных;

• агрегирование подусловий в нечетких правилах продукций;

• активизация или композиция подзаключений в нечетких правилах продукций;

• аккумулирование заключений нечетких правил продукций.