Основные понятия теории нечетких множеств. Операции над нечеткими множествами. Понятия нечеткой и лингвистической переменной. Основы нечеткого логического вывода.

Элемент принадлежит нечеткому множеству с некоторой вероятностью. Или может быть задана функция принадлежности элемента нечеткому множеству (субъективная). При определении нечеткого множества определяют границы для функции принадлежности (границы должны быть такими, чтобы никто не мог их оспорить)

Основные типы функций принадлежности:

1. Треугольная ФП задается следующим выражением:

где - числовые параметры, упорядоченные отношением

2. Трапециевидная функция принадлежности в общем виде задается следующим выражением

где - числовые параметры, упорядоченные отношением

3. Z-образные (сплайн-функции) ФП задается следующим выражением:

где - числовые параметры, упорядоченные отношением .

4. S-образная кривая может быть задана следующим выражением:

5. П-образная ФП:

Операции над нечеткими множествами

Пересечение нечетких множеств (операция И). Пересечением двух нечетких множеств A={x, _A(x)} и B={x, _B(x)} называется некоторое третье нечеткое множество C={x, _С(x)} (C=AB), заданное на этом же универсуме X, с функцией принадлежности

_С(x)=min{_A(x), _B(x)}  xX

Объединение нечетких множеств (операция ИЛИ). Объединением двух нечетких множеств A={x, _A(x)} и B={x, _B(x)} называется некоторое третье нечеткое множество D={x, _D(x)} (D=AB), заданное на этом же универсуме X, с функцией принадлежности

_D(x)=max{_A(x), _B(x)}  xX

Разность нечетких множеств.

Разностью двух нечетких множеств A={x, _A(x)} и B={x, _B(x)} называется некоторое третье нечеткое множество E={x, _E(x)} (E=A\B), заданное на этом же универсуме X, с функцией принадлежности

_E(x)=max{_A(x) - _B(x),0}  xX

Симметрическая разность. Операция разности в общем случае не является коммутативной, т.е. A\BB\A. Поэтому полезной оказывается иногда операция симметрической разности AB с функцией принадлежности

 _AB (x)=|_A(x) - _B(x)|  xX

Дополнение нечеткого множества (отрицание). Дополнение нечеткого множества A называется нечеткое множество А={x,  _A(x)}

 _A(x)=1- _A(x)

Умножение нечеткого множества на число. Пусть A={x, _A(x)} –произвольное нечеткое множество, заданное на универсуме X, a – положительное действительное число.

B=aA

_B(x)=a_A(x), если ah_A1 h_A – высота нечеткого множества

Возведение в степень. Пусть A={x, _A(x)} –произвольное нечеткое множество, заданное на универсуме X, k – положительное действительное число. В этом случае чисто формально можно определить операцию возведения нечеткого множества A в степень k как нечеткое множество B={x, _B(x)}, заданное на этом же универсуме X, функция принадлежности которого определяется по формуле.

_B(x)= _A(x)^k

Операции концентрирования и растяжения.

_С(x)= _A(x)²

Нечеткая и лингвистическая переменная

Связь между лингвистической и нечеткой переменными задается термами. Лингвистическая переменная принимает значения, являющиеся нечеткими переменными. Для всех нечетких переменных (терм) одной лингвистической переменной универсум один.