7.11 Разложение в ряд Тейлора – команда taylor

В задачах аппроксимации и приближения функций f(x) важное место занимает их разложение в ряд Тейлора в окрестности точки a:

f(x) = .

Частным случаем этого ряда при a = 0 является ряд Маклорена:

f(x) = .

Для получения разложения аналитической функции f в ряд Тейлора (и Маклорена) служит команда taylor:

taylor(f) – возвращает разложение в ряд Маклорена до шестой степени. В общем случае, когда небходимо получить разложение в ряд Тейлора до n - й степени в точке a, относительно которой находится разложение, используется команда taylor(f,n,x,a).

Примеры разложения в ряды Тейлора и Маклорена функции cos(x):

>> syms x

>> taylor(cos(x))

ans =

1-1/2*x^2+1/24*x^4

>> taylor(cos(x),5,x,2)

ans =

cos(2)-sin(2)*(x-2)-1/2*cos(2)*(x-2)^2+1/6*sin(2)*(x-2)^3+1/24*cos(2)*(x-2)^4

Пример:

Получить разложение в степенной ряд по степеням x «функции ошибок»

Erf(x) = dt,

которая не выражается в конечном виде через элементарные функции.

Решение:

>> syms x t

>> Pi=sym('pi');

>> taylor(2/sqrt(Pi)*int(exp(-t^2),t,0,x))

ans =

2/pi^(1/2)*x-2/3/pi^(1/2)*x^3+1/5/pi^(1/2)*x^5

>> [m]=simple(ans)

m =

1/15*x*(30-10*x^2+3*x^4)/pi^(1/2)

>> pretty(m)

2 4

x (30 - 10 x + 3 x )

1/15 -------------------------

1/2

pi

Команда taylortool приводит к появлению окна приложения, изображенного на рис. 7.1.

Рис.7.1.

Пользователь может вводить формулы различных функций в строке f(x) =

и исследовать приближение функции на произвольном интервале отрезком ряда Тейлора, содержащим различное число членов разложения.