1.5 Комплексные числа

Комплексными называются числа вида z = x+iy, где x и y – действительные числа, а i = . Числа x и y называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z. Они обозначаются x = Re z, y = Im z. Комплексные числа в системе MATLAB записываются в следующем виде:

3+2i; 7 - 4j; -3.8952+1.23e-5i; 5+i*7.

По умолчанию они имеют тип double. Для записи комплексного числа требуется в два раза больше памяти, чем для записи вещественного числа, так как по 8 байт памяти отводится для Re z и Im z. При вводе комплексных чисел мнимая единица i или j может быть записана до или после мнимой части. При записи мнимой единицы перед Im z между ними ставится знак умножения <*>. При записи мнимой единицы после Im z ставить знак умножения необязательно. Например, следующие записи эквивалентны:

1+i*2 ~ 1+j*2 ~ 1+2*i ~ 1+2*j ~ 1+2i ~ 1+2j.

Если коэффициентом при мнимой единице является не число, а переменная, нельзя писать просто x+yi, а необходимо использовать знак умножения, т. е. x+y*i.

Если в командную строку ввести i, получим:

>> i

ans =

0 + 1.0000i

Тот же результат получим при вводе символа j:

>> j

ans =

0 + 1.0000i

Кроме того, комплексное число можно представить в другом формате:

>> format long

>> 4-9j

ans =

4.00000000000000 - 9.00000000000000i

При выводе мнимая единица всегда обозначается символом i и выводится после мнимой части.

Число = x - iy называется комплексно - сопряженным числу z = x+iy. Два комплексных числа считаются равными, если равны отдельно их действительные и мнимые части. Алгебраические действия над комплесными числами выполняются по формулам:

z₁ ± z₂ = (x₁+iy₁) ± (x₂+iy₂) = (x₁ ± x₂)+i(y₁ ± y₂);

z₁ z₂ = (x₁+iy₁)(x₂+iy₂) = (x₁x₂ - y₁y₂)+i(x₁y₂ +x₂y₁);

= .

Примеры:

>> 1+2i+3-4j

ans =

4.0000 - 2.0000i

>> (1+2i)*(3-4j)

ans =

11.0000 + 2.0000i

>> (1+2i)/(3-4j)

ans =

-0.2000 + 0.4000i

>> z=(3+2i)^3

z =

-9.0000 +46.0000i

Встроенные функции real и imag выделяют вещественную и мнимую части комплексного значения:

>> real(z)

ans =

-9

>> imag(z)

ans =

46

Встроенная функция complex формирует комплексное число по паре вещественных:

>> z=complex(3,-4)

z =

3.0000 - 4.0000i

Функция conj возвращает комплексно - сопряженное число:

>> conj(z)

ans =

3.0000 + 4.0000i

Такой же результат получим, поставив апостроф после комплексного значения:

>> z=1+2*i'

z =

1.0000 - 2.0000i

>> z'

ans =

1.0000 + 2.0000i

Возникающий в процессе вычислений с вещественными переменными комплексный результат не является ошибкой. Вычислить , оставаясь в рамках только вещественных чисел, нельзя. MATLAB автоматически перейдет к комплексным вычислениям и в итоге возвратит результат равный i:

>> sqrt(-1)

ans =

0 + 1.0000i

В математике используют и другие формы представления комплексных чисел:

z = x+iy = ρe^iφ = ρ(cos φ+isin φ).

Здесь ρ = │z│ = – модуль комплексного числа, а φ = arg z – фаза, или главное значение его аргумента (величина угла измеряется в радианах, π<φ≤ π), причем tg φ = .

Значения этих параметров можно определить с помощью встроенных функций ρ = abs(z) и φ = arg z = angle(z).

Основные элементарные функции комплексного переменного:

показательная функция e ^iz ;

тригонометрические функции

cos z = , sin z = ;

гиперболические функции

ch z = , sh z = ;

главное значение логарифма

ln z = ln│z│+iarg z;

главные значения обобщенных показательной и степенной функций

a^z = e^zlna и z^α = e^αlnz,

z, α, a – любые комплексные числа, a ≠ 0.

Примеры:

>> exp(1+i)

ans =

1.4687 + 2.2874i

>> sin(1+j)

ans =

1.2985 + 0.6350i

>> i^i

ans =

0.2079

>> isreal(i^i)

ans =

1

>> (2+i)^(1-3i)

ans =

-3.3307 - 8.3459i

>> log(-1)

ans =

0 + 3.1416i