2.4. Анализ узких мест в сети

Поиск узких мест в сети является важным аспектом анализа ее работы. Узкое место создается тем узлом сети, у которого коэффици­ент загрузки U приближается к единице. В этом узле образуется большая очередь, которая при U≥ 1 становится бесконечной, и сеть переходит в неустойчивый режим работы. Такой узел становится «насыщенным» требованиями. Узкие места в сети обусловливают ее пропускную способность, то есть полностью определяют время пре­бывания в сети. Поэтому при анализе работы сети необходимо особое внимание уделять поиску узких мест.

Покажем на простом примере, почему узкое место определяет пропускную способность сети. Рассмотрим трубопровод, в котором есть трубы разного диаметра, доставляющие воду потребителю. Если после трубы маленького диаметра поставить трубу с любым большим диаметром, то потребитель не получит большего количества воды за единицу времени, чем ее может пропустить узкая труба. Это - так называемый эффект «узкого горлышка». Поэтому при рассмотрении та­ких систем важно иметь сбалансированные потоки в сети, то есть такой баланс потоков в узлах, при котором среднее время пребывания в сети было бы минимально или ее пропускная способность макси­мальна.

Приведем соотношения, которые связывают коэффициенты ис­пользования узлов с коэффициентами посещаемости этих узлов:

Устройство k будет «насыщено» требованиями, если его коэф­фициент использования близок к единице. В этом случае при выпол­нении гипотезы о балансе потоков интенсивности входящего потока и обслуживания будут практически совпадать, то есть

При увеличении числа требований, одновременно обслуживаю­щихся в сети, первым достигнет насыщения тот узел d, который бу­дет иметь максимальную величину V_i S_i i = 1,...,K, то есть

При увеличении количества требований коэффициент использования Ud приближается к 1 и X_d = 1/S_d. Поскольку X₀/X_d=1/V_d , то

Таким образом, исходный поток из сети при большом числе N полностью определяется узлом d, который является узким местом.

Определим минимальное среднее время пребывания требования R₀, если в сети есть лишь одно требование, через коэффициенты по­сещаемости отдельных устройств и время обслуживания устройства

На рис. 2.9 изображен график зависимости интенсивности пото­ка в сети от количества требований в сети. При увеличении N интен­сивность x₀ монотонно возрастает до предельной асимптоты V_d S_d, то есть пока на эту интенсивность не начнет влиять потенциально узкое место - узел d. На рис. 2.9 через N* обозначено число требований, при котором узкое место еще не влияет на пропускную способность сети.

Для простейшей замкнутой сети, если количество устройств M = 1, то R' = R'₀. При увеличении М поток из сети будет возрастать, но не больше, чем Х₀ =1/ V_d S_d. Таким образом,

Итак, при увеличении М среднее время пребывания имеет асимптоту MV_dS_d -Z. На рис. 2.10 показана зависимость среднего времени пребывания в замкнутой сети от числа устройств М. Асим­птота, которая создает узкое место в сети, пересекает ось абсцисс в точке M_d=Z/ V_d S_d.

Изложенный подход к поиску узких мест в сети просто исполь­зовать на практике. Покажем это на примерах.

Пример 2.3. Проведем расчет характеристик сети, которая изо­бражена на рис. 2.11, там же приведены значения операционных пе­ременных S_k q_kj и Z.

Запишем уравнения баланса потоков для коэффициентов посе­щаемости этой сети:

Решая приведенную систему уравнений, получаем

Определяем значения V_k S_k для каждого из узлов сети:

Таким образом, минимальное среднее время пребывания одного требования составляет: R₀ = 1 + 0,088 + 0,32 = 2,2 с.

Поскольку V₁S₁>V₂S₂>V₃S₃, то потенциальным узким местом в сети является первый узел.

Основываясь на рассматриваемом методе операционного анализа, дадим ответ на некоторые вопросы.

1. Пусть измерениями определено, что X₀ = 0,715 требований/с, а вреднее время пребывания требования в сети составляет 5,2 с. Какое среднее количество устройств обслуживания взаимодействует с се­тью за все время наблюдения?

В соответствии с формулой (2.13) имеем:

2. Можно ли обеспечить среднее время пребывания требований в сети равным 8 с при 30 устройствах обслуживания? Какое макси­мальное среднее время обслуживания требования должен иметь узел 1, чтобы это стало возможным?

В соответствии с формулой (2.13) имеем:

Таким образом, при взаимодействии с сетью 30 устройств, сред­нее время пребывания требования в ней превысит 10с.

Обозначим через S^* допустимое среднее время обслуживания требования. Тогда можно записать

то есть максимально возможное среднее время обслуживания требо­вания узлом 1 составляет 0,047 с. На рис. 2.12 изображены графики для асимптоты среднего времени обслуживания требования.

Пример 2.4. Допустим, что в сеть, кроме требований от уст­ройств обслуживания, поступают еще и требования от узла 3, как по­ казано на рис. 2.13.

Из рис. 2.13 видно, что V₁ = V₃ = 1. Тогда V₁S₁ = 0,05 с, V_lS_l = 0,1 с.

Таким образом, потенциально узким местом для требований уз­ла 3 есть сам узел 3.

Загрузка узла 3, создаваемая требованиями от устройств обслу­живания, составляет

Вторая загрузка узла 3 создается требованиями, которые посту­пают от этого узла (Uз = 0,704).

Таким образом, узел 1 также используется практически полностью.

Операционный анализ вероятностных сетей СМО и приведенные примеры расчетов таких сетей показывают, как, не прибегая к модели­рованию, можно получить некоторые расчетные характеристики на уровне средних значений. В технологии имитационного моделирования операционный анализ может быть использован для сравнения результа­тов моделирования с расчетными значениями при проверке правильно­сти (валидации) имитационной модели и при поиске наилучших реше­ний по результатам моделирования (см. главу 11).