Глава 11. Задания для имитационных проектов

Задания этой главы предназначены для разработки имитацион­ных проектов и применения технологии имитационного моделирова­ния от постановки задач до принятия решений по результатам моде­лирования, поэтому использованные из [16] задания (5, 6, 7, 10, 11, 12, 14, 16 и 20) дополнены и изменены.

Задание 1

Контейнеры с керамическими изделиями поступают в цех обжи­га (входной поток пуассоновский с параметром L). Каждый контей­нер содержит партию из 100 изделий, которые требуют одинакового времени обжига. Время обжига - равномерно распределенная вели­чина в интервале А ± В. В цехе находится печь, в которую одновре­менно загружают три контейнера. Время обжига соответствует наи­большему из времен, необходимых для обжига изделий из этих трех контейнеров. Прибыль от обжига каждого изделия составляет S₁ единиц стоимости. Один час работы печи требует S₂ единиц стои­мости (учитывается только «чистое» время работы печи).

Сравните экономическую эффективность следующих дисциплин обслуживания:

А. Контейнеры загружаются в печь по три по принципу FIFO. Для поддержки функционирования очереди необходимо S₃ единиц стоимости в час.

Б. Контейнеры разделяются на две очереди: очередь с большим временем обжига и очередь с меньшим временем обжига изделий в печи. В печь загружаются по три контейнера из каждой очереди, выбор осуществляется по принципу FIFO. Для поддержки этих двух очередей необходимо k₁ * S₃ единиц стоимости.

В. Контейнеры разделяются на три очереди: с «большим», «средним» и «меньшим» временем обжига изделий в печи. В печь за­гружаются по три контейнера из каждой очереди, выбор осуществляется по принципу FIFO. Для поддержки функционирования этих трех очередей необходимо k₂ * Sз единиц стоимости.

Оценить интервалы значений k₁ и k₂, при которых дисциплины Б и В становятся невыгодными.

Варианты заданий приведены в табл. 11.1.

Роботизированная производственная система имеет два станка с числовым программным управлением, три робота, пункт прибытия и склад обработанных деталей. Детали прибывают на пункт прибытия в соответствии с экспоненциальным законом распределения со сред­ним значением t₀ секунд, захватываются одним из свободных роботов и перемещаются к первому станку, после чего робот освобождается. После завершения обработки на первом станке деталь захватывается одним из роботов и перемещается на второй станок, а после обработ­ки на втором станке одним из роботов перемещается на склад обра­ботанных деталей.

Время перемещения робота между пунктом прибытия и первым станком, первым и вторым станками, вторым станком и складом со­ставляет t₁, t₂, t₃ секунд, соответственно, независимо от того, «холо­стой» это ход или нет. Роботу необходимо время t₄ ± t₅ секунд на за­хват или освобождение деталей. Время обработки на первом станке распределено по нормальному закону со средним значением t₆ секунд и имеет стандартное отклонение t₇ секунд. Время обработки на вто­ром станке имеет экспоненциальный закон распределения со средним значением t₈ секунд.

Определить наилучший (с точки зрения повышения пропуск­ной способности производственной системы) способ закрепления ро­ботов за операциями. Возможные варианты закрепления:

• по одному роботу на каждый из трех путей перемещения деталей (пункт прибытия - первый станок, первый станок - второй ста­нок, второй станок - склад);

• каждый робот может использоваться на каждом из путей пере­мещения деталей (при этом должен использоваться ближайший из роботов).

Найти:

1) распределение времени прохождения деталей;

2) коэффициенты использования роботов и станков;

3) максимальную емкость бункера для хранения деталей на уча­стке прибытия.

Варианты заданий приведены в табл. 11.2.

Задание 3

На сборочный участок цеха через экспоненциально распреде­ленные интервалы времени со средним значением Т₁ минут поступа­ют партии, каждая из которых состоит из п деталей. Равновероятно детали проходят одну из предварительных обработок (ПО):

• ПО1 на протяжении экспоненциально распределенного интерва­ла времени со средним значением T₂ минут;

• ПО2 на протяжении T₃ минут (равномерное распределение).

В результате обработки возможно появление k процентов брако­ванных деталей, которые не поступают на дальнейшую сборку, а сно­ва направляются на соответствующую предварительную обработку. На сборку поступает одна деталь, которая прошла ПО1, и одна де­таль, прошедшая ПО2. Процесс сборки занимает T₄ минут. В каждый момент времени может происходить сборка только одного изделия (состоящего из двух деталей). Потом собранное изделие поступает на регулировку, которая длится T₅ минут. В каждый момент времени может проводиться регулировка только одного изделия.

Прибыль от производства одного изделия составляет S₁ единиц стоимости. Если деталь изделия, которая прошла ПО1, находилась в цеху более T минут, стоимость изделия уменьшается вдвое.

Уменьшение уровня брака до значения (k - r) требует r х S₂ еди­ниц стоимости на каждую деталь (r≤k). Уменьшение средней про­должительности операций сборки и регулировки на w минут требует дополнительного вложения т*S₃ единиц стоимости на одно изделие. Длительность этих операций может изменяться независимо, при этом минимально возможная длительность операций сборки и регулировки составляет 3 минуты.

Определить, при каких уровнях снижения брака r и длительно­сти операций сборки и регулировки достигается максимальная эко­номическая эффективность.

Варианты заданий приведены в табл. 11.3.

Задание 4

В цех на участок обработки поступают партии деталей по три в каждой. Интервалы между приходом партий - случайные величины, равномерно распределенные в интервале А ± В минут. Первичная об­работка деталей происходит на одном из станков двух типов. Деталь поступает на обработку на станок с меньшей очередью. Станок пер­вого типа обрабатывает деталь за Т₁ минут и допускает k₁ процентов брака, второго типа - соответственно, Т₂ минут и k₂ процентов брака. Все бракованные детали возвращаются на повторную обработку на свой станок. Детали, которые были забракованы дважды, считаются отходами и отправляются на утилизацию.

После первичной обработки детали поступают в накопитель, а из него - на вторичную обработку, которую проводят два параллель­но работающих станка за время, распределенное по экспоненциаль­ному закону со средним T₃ минут на одну деталь каждый. Причем второй станок подключается к работе, только если в накопителе на­ходится более трех деталей. Затраты на содержание станков первого и второго типов составляют, соответственно, S₁ и S₂ единиц стоимо­сти в час, независимо от того, используется станок или нет. Цена реа­лизации готовой детали составляет S₃ единиц стоимости, а стоимость покупки необработанной детали - S₄ единиц стоимости.

Есть возможность повысить качество первичной обработки де­талей. Уменьшение уровня брака в работе станков на г процентов требует дополнительных затрат r * S₅ единиц стоимости на каждую деталь. Действия по повышению эффективности качества первичной обработки могут проводиться для обоих типов станков независимо друг от друга.

Определить, сколько станков первого и второго типов необхо­димо иметь и в каком объеме проводить мероприятия по повышению качества первичной обработки, чтобы достичь максимума прибыли за единицу времени.

Варианты заданий приведены в табл. 11.4.

Задание 5

На регулировочный участок цеха через случайные интервалы времени поступают по два агрегата через каждые Т₁ минут. Первич­ная регулировка проводится для двух агрегатов одновременно и за­нимает Т₂ минут. Если в момент поступления агрегатов операция ре­гулировки занята, агрегаты на первичную регулировку не принима­ются и поступают в промежуточный накопитель, в котором ждут дальнейшей обработки. Агрегаты, которые прошли первичную регу­лировку, поступают попарно на вторичную регулировку, которая вы­полняется за T₃ минут (в результате получаем агрегаты первого сор­та). Агрегаты, не прошедшие первичную регулировку, с промежуточ­ного накопителя поступают по одному на частичную регулировку (время регулировки - T₄ минут для каждого агрегата). В результате получают агрегаты второго сорта. Величины Т₂, Т₃ и Т₄ заданы в табл. 11.5 своими средними значениями. Они распределены по экс­поненциальному закону распределения.

Прибыль от реализации одного агрегата первого сорта состав­ляет S₁ единиц стоимости, второго сорта - S₂ единиц стоимости. Уменьшение на одну минуту средней длительности первичной, вто­ричной и частичной регулировок требует, соответственно, дополни­тельных затрат - S₃, S₄, S₅ единиц стоимости на каждую деталь. Изме­нение длительности регулировок можно выполнять независимо друг от друга.

Определить наиболее выгодную с точки зрения экономической эффективности длительность первичной, вторичной и частичной ре­гулировок.

Варианты заданий приведены в табл. 11.5.

Задание 6

Система обработки информации содержит мультиплексорный ка­нал и N мини-ЭВМ. На вход канала через интервалы времени T₁ микросекунд поступают сообщения от датчиков. В канале они буферизируются и предварительно обрабатываются на протяжении Т₂ мик­росекунд. Потом сообщения поступают на обработку в ту мини-ЭВМ, которая имеет наименьшую длину входной очереди. Емкости входных накопителей всех мини-ЭВМ рассчитаны на хранение пяти сообщений. Если в момент прихода сообщения входные накопители всех мини-ЭВМ полностью заполнены, то сообщение получает отказ. Время обра­ботки сообщения во всех мини-ЭВМ равно T₃ микросекунд.

Есть две возможности уменьшения числа сообщений, получаю­щих отказ:

• увеличение емкости входных накопителей ЭВМ;

• ускорение обработки сообщений в ЭВМ при достижении суммы длин очередей во всех ЭВМ некоторого порогового значения (авральный режим).

Увеличение на единицу емкости входного накопителя требует S₁ единиц стоимости на каждое сообщение.

Переключение ЭВМ в авральный режим происходит тогда, ко­гда суммарное количество сообщений во входных накопителях всех мини-ЭВМ достигает значения 3N. В этом случае все мини-ЭВМ уменьшают время обработки сообщения на k (k < T₃) микросекунд, что требует k*S₂ единиц стоимости на каждое сообщение. Все мини-ЭВМ в авральный режим переводятся одновременно.

Убытки за каждое сообщение, которому отказано в обработке, составляют S₃ единиц стоимости, единица времени работы одной ЭВМ в авральном режиме обходится в S₄ единиц стоимости.

Определить, при каких емкостях входных накопителей и ав­ральной скорости обработки сообщений достигается минимум сум­марных затрат (убытков от отказов сообщениям в обслуживании, за­трат на увеличение емкости входных накопителей и затрат на под­держку аврального режима).

Варианты заданий приведены в табл. 11.6.

Задание 7

На участке термической обработки выполняют цементирование и закалку шестерен, поступающих через каждые Т₁ минут. Цементи­рование занимает Т₂ минут, а закалка - T₃ минут. Качество шестерни определяется суммарным временем ее обработки без учета времени ожидания. Шестерни со временем обработки более Т₄ минут (первый сорт) покидают участок, со временем обработки от Т₅ до Т₄ минут (второй сорт) передаются на повторную закалку, а со временем обра­ботки менее Т₅ минут (третий сорт) повторно проходят полную обра­ботку и остаются того же сорта.

Стоимость шестерен первого, второго и третьего сортов равна Sз, S₄ и S₅ единиц стоимости, соответственно.

Увеличение на k процентов (0 ≤ k ≤ 50) среднего времени цемен­тирования требует k*S₁ единиц стоимости для каждой шестерни. Увеличение на q процентов (0 ≤ q ≤ 50) среднего времени закалива­ния требует q * S₂ единиц стоимости для каждой шестерни. Эти из­менения могут производиться независимо друг от друга.

Определить характеристики операций цементирования и закал­ки, при которых достигается максимум суммарной стоимости шесте­рен, выпускающихся за единицу времени.

Варианты заданий приведены в табл. 11.7.

Задание 8

В механическом цеху есть М станков. Каждый из них может выйти из строя. Неисправности станков делятся на три типа. Неис­правности i-го типа представляют собой пуассоновский поток с па­раметром λ _i минут^-1.

В цеху есть две категории мастеров-ремонтников. Функции рас­пределения времени их работы по устранению неисправностей рав­номерные (табл. 11.8).

Час работы станка дает прибыль S₁ единиц стоимости; заработ­ная плата ремонтника - S₂ единиц стоимости в час для первой катего­рии и S₃ единиц стоимости для второй.

Определить состав бригады ремонтников, при котором сум­марная прибыль достигает максимума.

Варианты заданий приведены в табл. 11.9.

Задание 9

В сборочном цеху на изделия монтируются агрегаты двух типов. Предполагается, что на входе цеха имеется такое количество агрега­тов, которое является достаточным для бесперебойной работы цеха.

Агрегаты первого типа поступают на операцию ОП1 проверки параметров агрегатов с длительностью Т₁ минут. Агрегаты второго типа поступают на операцию ОП2 проверки параметров с длительно­стью Т₂ минут. Монтирование агрегатов на изделия может начаться только при наличии двух агрегатов первого типа и одного агрегата второго типа и после монтирования предыдущего изделия. Монтиро­вание двух агрегатов первого типа занимает T₃ и Т₄ минут, соответст­венно, монтирование агрегата второго типа занимает T₅ минут. Опе­рации монтирования производятся параллельно. Длительность каж­дой из операций зависит от числа задействованных на ней рабочих.

Прибыль от реализации каждого смонтированного изделия со­ставляет S₁ единиц стоимости. На участке может быть задействовано не более N работников. Заработная плата одного работника составля­ет S₂ единиц стоимости в час.

Определить необходимое количество работников и их распре­деление между операциями, при которых достигается максимальная экономическая эффективность работы цеха (прибыль за единицу времени).

Варианты заданий приведены в табл. 11.10.

Задание 10

В системе передачи данных производится обмен пакетами меж­ду пунктами А и В по дуплексному каналу связи (возможна одновре­менная передача информации в двух направлениях: с каждого на­правления по одному пакету). Пакеты поступают в пункты системы от абонентов двух категорий - первой и второй, потоки пакетов - пуассоновские с параметрами λ₁ (1/мс) и λ₂ (1/мс), соответственно. Пе­редача пакета занимает T₁ мс. В пунктах есть буферные регистры, ко­торые могут одновременно хранить не более двух пакетов, не считая передаваемого пакета. В случае прихода пакета в момент занятости регистров пунктам системы предоставляется выход на вспомогатель­ную полудуплексную линию связи (в каждый момент времени может производиться передача информации только в одном направлении), которая осуществляет передачу пакетов за Т₂ мс. В случае занятости вспомогательной линии пакет получает отказ и уничтожается.

Прибыль от передачи пакета первой категории – S₁ единиц стоимости, пакета второй категории - S₂ единиц стоимости. Штраф за отказ передачи пакета первой категории - S₃ единиц стоимости, паке­та второй категории - S₄ единиц стоимости. Аренда вспомогательной линии связи составляет S₅ единиц стоимости за одну миллисекунду.

Уменьшение на k мс среднего времени передачи пакета в дуп­лексном канале требует k * S₆ единиц стоимости на каждый пакет.

Проанализировать возможные варианты дисциплин обслужи­вания пакетов.

Определить дисциплину обслуживания и скорость передачи пакетов, при которых достигается максимальная экономическая эф­фективность.

Варианты заданий приведены в табл. 11.11.

Задание 11

Магистраль передачи данных состоит из общего накопителя и двух каналов - основного и резервного. Сообщения поступают в сис­тему через R секунд и ждут в накопителе начала передачи. В нор­мальном режиме работы сообщения передаются по основному каналу за T₁ секунд. В основном канале через интервалы времени Т₂ секунд (T₂ - время наработки на отказ) происходят сбои. Если сбой случается во время передачи некоторого сообщения, то происходит прерывание его передачи. При этом за время Т₃ секунд запускается резервный ка­нал, который передает прерванное сообщение с самого начала. Вос­становление основного канала занимает Т₄ секунд. До восстановления основного канала передача сообщений происходит по резервному ка­налу, который никогда не отказывает. После восстановления основ­ного канала резервный отключается и основной канал продолжает работу со следующего сообщения.

Прибыль от передачи сообщения по основному каналу составля­ет S₁ единиц стоимости, а при передаче по резервному каналу - S₂ единиц стоимости. Есть возможность повысить надежность работы основного канала. При увеличении среднего времени наработки на отказ на k секунд прибыль с каждого сообщения уменьшается на k * S₃ единиц стоимости.

Определить наилучший режим работы системы, соответствую­щие загрузку резервного канала, частоту прерывания сообщений и функцию распределения времени передачи сообщений по магистрали.

Варианты заданий приведены в табл. 11.12.

Задание 12

На комплектовочный конвейер сборочного цеха каждые Т₁ ми­нут поступают N₁ деталей первого типа и каждые Т₂ минут - N₂ дета­лей второго типа. Изделие комплектуется из N₃ деталей каждого типа. Комплектация начинается только при наличии деталей обоих типов в необходимом количестве (рис. 11.1).

Конвейер движется ритмично с шагом T₃ минут. При отсутствии необходимого количества деталей секция конвейера перемещается пустой («холостой ход»).

Определить целесообразность перехода на другие режимы ра­боты конвейера, оперируя такими параметрами:

1) размерами секции - количеством деталей каждого типа, из ко­торых комплектуется изделие (возможны дополнительные варианты - по N₄ и N₅ изделий);

2) шагом конвейера (возможны дополнительные варианты - T₄ и

T₅ минут).

Оценить вероятность «холостого хода», средние и максималь­ные длины очередей каждого типа изделий.

Варианты заданий приведены в табл. 11.13.

Задание 13

Служба заказа такси имеет п₁ каналов для одновременного приема заказов по телефону. Интервалы времени между попытками вызова такси распределены по закону Эрланга второго порядка со средним t₁ секунд. Абонент затрачивает t₂ секунд на набор номера. Если он застает все каналы заказа занятыми или после соединения выясняет, что очередь на обслуживание превышает N заказов (в та­ком случае заказы не принимаются), то через t₃ секунд он повторяет набор. После К попыток абонент прекращает набор. Служба заказа имеет в своем распоряжении п₂ машин для обслуживания пассажи­ров. Время, затраченное для проезда к клиенту, зависит от расстоя­ния. Распределение расстояния приведено в табл. 11.14. Стоимость проезда к клиенту не оплачивается. Скорость движения машины рав­номерно распределена в интервале V₁ ± V₂ километров в час (табл. 11.15). Время обслуживания клиента равномерно распределено в интервале t₄ ± t₅ минут. Стоимость предварительного заказа составляет S₁ рублей, стоимость проезда 1 км равна S₂ копеек (табл. 11.15).

Найти оценку интервала времени выполнения заказа (время от момента заказа такси до момента доставки клиента на место). Считая, что операторы-телефонисты и водители такси взаимозаменяемы, пе­рераспределить их между участками работы так, чтобы минимизи­ровать время выполнения заказов (штат службы не должен превы­шать п₁ + n₂ человек).

Определить такое количество операторов на телефонах и води­телей такси, при которых прибыль службы за сутки работы (суточная заработная плата каждого из работников составляет S₃ рублей) будет максимальной.

Задание 14

На обработку ЭВМ принимают три класса заданий: А, В и С. Исходя из наличия оперативной памяти ЭВМ, задания классов А и В могут выполняться одновременно. То есть задание класса А (В) может выполняться параллельно с заданием своего класса или с заданием класса В (А). Задания класса С монополизируют ЭВМ. Задания класса А поступают в среднем через Т₁ минут, класса В - через Т₂ минут, класса С - через Tз минут и требуют для выполнения: класс А - T₄ минут, класс В - Т₅ минут и класс С – Т₆ минут. Все величины T_i (i = 1, ..,6) - экспоненциально распределенные случайные величины, параметры λ_i (i = 1, ..,6) входящих потоков заданий и времен обслу­живания приведены в табл. 11.16.

Дисциплина обслуживания определяется комбинацией приори­тетов заданий. Возможны следующие комбинации:

А (В) - высший, В (А) - средний, С - низкий;

А и В - высокий, С - низкий;

С - высший, В (А) - средний, А (В) - низкий;

С - высокий, А и В ~ низкий.

Оценить влияние разных дисциплин обслуживания при разных значениях интенсивностей поступления (в табл. 11.16 дополнитель­ная интенсивность приведена в скобках) на такие параметры вычис­лительной системы:

• средняя длительность прохождения заданий через систему;

• средняя длина очереди;

• среднее время ожидания в очереди;

• средневзвешенное время ожидания в очереди (весовые коэффи­циенты заданий класса А, В, С- 1, 2, 3, соответственно);

• выпуклая линейная комбинация вышеназванных критериев (за­дать самостоятельно).

Анализ системы необходимо проводить для переходного режи­ма работы.

Задание 15

В сборочном цеху из агрегатов двух типов монтируются готовые изделия. Агрегаты первого (второго) типа поступают в цех через ин­тервалы времени, распределенные нормально с математическим ожи­дание m₁ (m₂) минут и среднеквадратическим отклонением σ(σ₂) ми­нут (табл. 11.17).

Агрегаты первого типа поступают на операцию настройки ОН1 с длительностью операции Т₁ минут. Агрегаты второго типа посту­пают на операцию настройки ОН2 с длительностью T₂ минут. Монтирование агрегатов для получения готового изделия может начаться только при наличии одного агрегата первого типа и двух агрегатов второго типа и только после монтирования предыдущего изделия. Монтирование агрегата первого типа занимает T₃ минут, двух агрега­тов второго типа - T₄ и Т₅ минут, соответственно. Операции монтиро­вания производятся параллельно. Длительность каждой операции за­висит от количества задействованных на ней рабочих.

На участке может быть задействовано не более N рабочих. Зара­ботная плата одного рабочего составляет Z единиц стоимости за 1 час. Стоимость хранения одного агрегата каждого типа в цеху на про­тяжении 1 часа составляет S единиц стоимости.

Определить наилучшее с экономической точки зрения распре­деление рабочих между операциями.

Варианты заданий приведены в табл. 11.17.

Задание 16

В узел коммутации сообщений, состоящий из одного общего входного буфера, процессора, двух выходных буферов и двух выход­ных линий, поступают сообщения с двух направлений. Сообщения с первого и второго направлений поступают через интервалы времени, распределенные нормально с параметрами т₁, s₁ и m₂, s₂, соответст­венно (табл. 11.18).

Сообщения с первого направления поступают во входной бу­фер, обрабатываются в процессоре, накапливаются в выходном бу­фере первой линии и передаются по первой выходной линии. Сооб­щения со второго направления обрабатываются аналогично, но пере­даются через второй выходной буфер по второй линии. Применяемый метод контроля требует одновременного присутствия в системе не более трех сообщений с каждого направления. Если сообщение по­ступает в систему и застает в ней три сообщения со своего направле­ния, то оно получает отказ и уничтожается. Время обработки процессором одного сообщения составляет Т₁ мс, время передачи одного со­общения по первой линии составляет Т₂ мс, по второй - Tз мс.

Прибыль от обслуживания сообщений с первого направления составляет d₁ единиц стоимости, со второго -d₂ единиц стоимости.

Есть возможность ускорить процесс передачи сообщений по вы­ходным линиям. Уменьшение на одну единицу среднего времени пе­редачи сообщения по первой линии требует z₁ единиц стоимости на сообщение, по второй -z₂ единиц стоимости.

Определить, при каких характеристиках работы выходных ли­ний достигается максимальная экономическая эффективность узла коммутации сообщений.

Выполнить то же при условии, что входящие потоки сообще­ний - пуассоновские с параметрами λ₁=1/m\ i λ₂ = 1/т₂, соответст­венно.

Варианты заданий приведены в табл. 11.18.

Задание 17

На участок поступают пуассоновские потоки узлов двух типов - с параметрами λ₁ мин^-1 i λ₂ мин^-1 для первого и второго, соответст­венно (табл. 11.19).

Первая операция - операция предварительной подгонки - начина­ется в том случае, если в наличии есть по одному узлу каждого типа и завершена подгонка предыдущих узлов. Длительность этой операции Т₁ минут. Дальше с вероятностью р₁ над узлом первого типа и р₂ над узлом второго типа производится операция доводки, которая длится Т₂ и Т₃, минут, соответственно. После этого узлы поступают на операцию сборки, которая начинается после поступления узлов обоих типов, ко­торые ранее были взаимно подогнаны. Сборка длится Т₄ минут.

Длительность каждой операции зависит от количества задейст­вованных на ней рабочих. Всего на участке может быть задействова­но не более N рабочих.

Прибыль от реализации одного готового изделия составляет s₁ единиц стоимости, но, если после завершения подгонки узлов до мо­мента их сборки проходит более T минут, прибыль от реализации из­делия уменьшается вдвое. Заработная плата каждого рабочего – S ₂ единиц стоимости в час.

Определить такое количество занятых в производстве рабочих и их распределение между операциями, которое бы обеспечило мак­симальную экономическую эффективность производства.

Варианты заданий приведены в табл. 11.19.

Задание 18

Отдел обслуживания ЭВМ готовит носители с программами для металлорежущих станков с числовым программным управлением. Чертежи деталей поступают из конструкторско-технологического от­дела. Программист изучает чертеж и пишет программу управления станком, обрабатывающим заготовки. Программирование занимает интервал времени, распределенный по экспоненциальному закону со средним временем Т₁ минут. Затем текст программы вводится в ЭВМ, обрабатывается и записывается на носитель (длительность операции - экспоненциально распределенная случайная величина со средним временем Т₂ минут). Потом носитель с программой устанавливается на соответствующий станок для испытания. Этот процесс занимает промежуток времени, распределенный экспоненциально со средним временем Т₃ минут.

Заказы на подготовку носителей с программами поступают че­рез промежутки времени, распределенные равномерно в интервале А ± В минут. В момент прихода заказа для него определяют директив­ное время - время, до которого заказ должен быть выполнен. Дирек­тивное время определяется как сумма времени поступления заказа и технологического времени выполнения работы. Технологическое время выполнения работы - это общее время обработки (Т₁+Т₂+Т₃) плюс дополнительное время, равномерно распределенное в интервале С ± D минут.

Руководство отдела желает проанализировать несколько спосо­бов очередности обработки заказов с целью определения наилучшего из них. Предложено четыре возможных порядка выполнения ожи­дающих в каждой из очередей работ:

• сначала выполняются те заказы, которые имеют самое малень­кое технологическое время выполнения;

• сначала выполняются те заказы, которые имеют самое большое технологическое время выполнения;

• сначала выполняются те заказы, которые имеют наименьшее ос­тавшееся время обработки;

• сначала выполняются те заказы, которые имеют ближайший ди­рективный срок.

Самостоятельно выбрать критерий оценки эффективности сис­темы и оценить предложенные дисциплины выбора из очереди.

Время моделирования необходимо выбирать так, чтобы модель рабо­тала в переходном режиме.

Варианты заданий приведены в табл. 11.20.

Задание 19

В цеху машиностроительного завода есть п станков одного типа, на которых обрабатываются узлы больших размеров. Запросы на обра­ботку узлов станками образуют пуассоновский поток с параметром λ. Поступившие узлы ставятся на свободный ближайший станок одной из m₁ транспортных тележек группы TТ₁, и снимаются со станка после об­работки на нем одной из т₂ транспортных тележек группы ТТ₂.

В начальный момент времени все тележки первой группы на­ходятся около первого станка, а все тележки второй группы - на складе, куда они доставляют готовые узлы. После транспортирова­ния узла к станку тележки первой группы возвращаются к первому станку (рис. 11.2).

Время, на протяжении которого будет занята тележка первой группы, состоит из времени Т₁ транспортирования узла к свободному станку и времени Т₂ возврата тележки на свободную позицию. Время, на протяжении которого будет занята тележка второй группы, состо­ит из времени Т₂ подъезда тележки к станку, который обработал узел, и времени Т_{ транспортирования готового узла к месту складирова­ния. Величины Т₁ и Т₂ определяются так:

где i -номер станка, на котором деталь обрабатывается.

Времена обработки узлов на станках - нормально распределен­ные случайные величины с параметрами m и о. Каждый готовый узел дает прибыль d₁ единиц стоимости, затраты на содержание од­ной тележки составляют d₂ единиц стоимости в час.

Определить оптимальное количество транспортных тележек.

Выполнить анализ экономической целесообразности разных вариантов закрепления тележек за станками.

Варианты заданий приведены в табл. 11.21.

Задание 20

Детали, необходимые для работы цеха, находятся на цеховом и центральном складах. На цеховом складе может храниться до п ком­плектов деталей, потребность в которых возникает через А ± В минут и составляет один комплект. В случае понижения уровня запасов до k комплектов на протяжении С минут формируется запрос на пополне­ние запасов цехового склада до полного объема в п комплектов. За­прос посылают на центральный склад, где на протяжении D±E ми­нут комплектуются детали и через F±G минут доставляются в цех. Следующий запрос на пополнение запасов может подаваться только после выполнения предыдущего.

Хранение одного комплекта на цеховом складе требует S₁ еди­ниц стоимости за единицу времени. Штраф за задержку поставки комплекта составляет S₂ единиц стоимости за единицу времени.

Определить, при каких значениях п и k достигается максималь­ная экономическая эффективность работы склада.

Выполнить анализ аналитических методов решения задачи управления запасами.

Варианты заданий приведены в табл. 11.22.

Задание 21

Частный магазин покупает партию из N единиц товара по опто­вой цене S единиц стоимости. Деньги на приобретение товара владе­лец магазина берет в кредит. Процентная ставка за кредит составляет k процентов от суммы непогашенного кредита в день (табл. 11.23).

Поток покупателей, приходящих в магазин, - пуассоновский с параметром λ, мин^--1.

Вероятность того, что покупатель не будет покупать товар и сразу уйдет из магазина, зависит от длины очереди и розничной це­ны товара:

Р_ухода =1 –p₁p₂,

где р₁ - вероятность того, что длина очереди «устраивает" покупате­ля,

р₂ - вероятность того, что он купит товар по установленной роз­ничной цене.

Время обслуживания покупателя в магазине - равномерно рас­пределенная случайная величина в интервале А ± В мин.

Определить наиболее выгодную розничную цену продажи то­вара в магазине с учетом платы за кредит.

Примечание. Считать, что после продажи единицы товара вели­чина кредита уменьшается на отпускную цену проданного товара (ес­ли долг еще существует). Это приводит к тому, что величина кредита и выплата процентов по нему уменьшаются.

Варианты заданий приведены в табл. 11.23.

Задание 22

Поток требований на получение книг в библиотеке - пуассоновский с интенсивностью п требований в час. Требования принимает один библиотекарь. Прием требований занимает интервал времени, распределенный по экспоненциальному закону со средним временем t₁ минут. С вероятностью р₁ приходят требования на научную литера­туру, с вероятностью p₂ - на художественную литературу, с вероят­ностью p₃ - на периодические издания. Соответственно типу запросы направляются в отделы научной, художественной литературы и пе­риодических изданий. В этих отделах работают, соответственно, k₁, k₂ и k₃ человек. Время поиска книги составляет t₂ ± t₃ минут в научном и художественном отделах, а время поиска литературы в отделе перио­дических изданий - t₄ ± t₅ минут. Потом заказанная литература при­ходит в отдел выдачи литературы, где работает k₄ библиотекарей. За­казы на периодические издания имеют больший приоритет, нежели на научную и художественную литературу, а заказы на художествен­ную и научную - одинаковый приоритет. Время выдачи литературы распределено равномерно в интервале t₆ – t₇ минут.

Найти оценку среднего времени выполнения заказа.

Определить количество библиотекарей в каждом отделе, при котором среднее время выполнения требований было бы минималь­ным, учитывая, что общее количество библиотекарей не должно пре­вышать L человек.

Варианты заданий приведены в табл. 11.24.

Задание 23

На маршруте работают два микроавтобуса (А и Б), каждый из ко­торых имеет п мест. Микроавтобус А пользуется большей популярно­стью, нежели микроавтобус Б, поскольку водитель микроавтобуса А ез­дит аккуратнее и быстрее. Поэтому пассажир, подойдя к остановке, са­дится в микроавтобус Б только в том случае, если микроавтобуса А нет.

Микроавтобус отправляется на маршрут только в том случае, если все места в нем заняты. Пассажиры приходят к остановке через t₁ ± t₂ минут и, если нет микроавтобусов, становятся в очередь. Если очередь больше L человек, потенциальный пассажир уходит из очереди. Предполагает­ся, что все пассажиры едут до конца маршрута. На прохождение мар­шрута микроавтобус А тратит t₃ ± t₄ минут, микроавтобус Б - t₅ ±t₆ 4 ми­нут. После того, как пассажиры освободят микроавтобус (время осво­бождения - t₇ ± t₈ минут), он едет в обратном направлении. Плата за проезд составляет S единиц стоимости. Автопредприятие столько же теряет (недополучает), если пассажир, придя на остановку, не ждет, а уходит (учесть это при определении затрат).

Найти оценку времени ожидания в очереди и времени, которое тратит пассажир на поездку.

Определить, при каком п (п не более 25) время ожидания в оче­реди будет минимальным. Для этого значения п определить выручку автопредприятия за день, если микроавтобусы работают 10 часов в су­тки.

Варианты заданий приведены в табл. 11.25.

Задание 24

Поток самолетов, требующих посадки в аэропорту, - пуассоновский с интенсивностью λ самолетов в час. В аэропорту есть п посадоч­ных полос. Самолет, совершив посадку на полосу, освобождает ее через t₁ минут. Если самолет, требующий посадки, застает все полосы заня­тыми, то он становится в «очередь» самолетов, ожидающих посадки. Через t₂ ± t₃ минут после затребования посадки самолет нуждается в дозаправке, что обходится аэропорту в S₁ ± S₂ ед. стоимости. После t₄ ми­нут безуспешного ожидания самолет отправляется на посадку в другой аэропорт. За каждый самолет, совершивший посадку без ожидания, аэ­ропорт получает прибыль Sз ед. стоимости. За каждый самолет, севший после ожидания, - S₄ ± S₅ ед. стоимости. Эксплуатация одной посадоч­ной полосы обходится в S₆ ед. стоимости в месяц.

Определить количество п посадочных полос, при котором дос­тигается максимальная экономическая эффективность. Варианты заданий приведены в табл. 11.26.

Задание 25

Фирма «Happy New Year», работающая по системе «сегодня на сегодня», имеет в своем штате п актеров, играющих роль Деда Моро­за, и т актрис, играющих роль Снегурочки. Время прихода заказов распределено по закону Эрланга третьего порядка со средним време­нем Т₁ минут. Характеристики заказов приведены в табл. 11.27.

При заказе поздравления клиент указывает желаемый срок вы­полнения T₂ (минут). Если поздравление выполняется позже заявлен­ного срока, то клиенту предоставляется 20% скидка от начальной стоимости поздравления. Заработная плата актера составляет z руб­лей в месяц. В начале своей работы фирма делает одноразовые затра­ты (костюмы, реквизит, лицензия, литературные тексты и прочее) на сумму S единиц стоимости. Фирма работает только один месяц в году (считать, что в другое время она не несет никаких затрат).

Найти оценку периода окупаемости Т (в годах) фирмы по фор­муле

где Р - прибыль, полученная за один год работы.

Определить величины п и т, при которых время окупаемости фирмы и соответствующее среднее время ожидания клиентом выпол­нения заказа будет минимальным. Если возможно снижение цен на услуги, то до какого уровня?

Варианты заданий приведены в табл. 11.28.

Задание 26

Существует региональная сеть вычислительных машин с п уз­лами, в которых находятся серверы и маршрутизаторы. К каждому серверу присоединено т удаленных абонентов. Каждый абонент имеет свой уникальный номер в сети. Абоненты обмениваются со­общениями между собой. Длина передающихся сообщений распре­делена по гамма-распределению со средним значением t₁ Кбайт и стандартным отклонением t₂ Кбайт. Все сообщения перед передачей по сети разбиваются на пакеты длиной k Кбайт. Каждый пакет обес­печивается адресом абонента-получателя. Серверы закольцованы ме­жду собой.

Пакеты сначала передаются на сервер, за которым закреплены абоненты, затем по каналу между серверами, который имеет мень­шую загрузку, и собираются в сообщения у абонента-получателя. Скорость передачи от абонента к серверу и от сервера к абоненту V₁ байт в секунду. Скорость обмена между серверами - V₂ Кбайт в се­кунду. Поток сообщений, поступающих от абонентов, - пуассоновский со средним значением λ сообщений в час.

Определить вероятностные характеристики времени передачи сообщений между абонентами сети.

Варианты заданий приведены в табл. 11.29.