9.6. Дисперсионный анализAnovAв планированииэкспериментов

Для определения, является фактор значимым или нет, использу­ется дисперсионный анализ ANOVA (analysis of variance), который применим только к количественным факторам. С помощью него оп­ределяются количественные отклонения наблюдений от среднего значения. Если какой-либо фактор не оказывает влияние на отклик, то он является незначимым. С другой стороны, если фактор влияет на отклик, то его (фактора) количественное значение сравнивают с оценкой изменчивости наблюдения, то есть со стандартной ошибкой.

Это делается для исключения эффектов, которые являются не более чем случайной флуктуацией.

Неявно в ANOVA используется аддитивная математическая мо­дель, которая определяет компоненты изменения в наблюдениях. Ее называют статистической моделью. Самая простая статистическая модель:

т.е. каждое i-е наблюдение представляет собой общее среднее по всем опытам μ и случайную ошибку e_ig. В этой модели общее среднее не изменяется от опыта к опыту, в отличие от ошибки.

Статистическая модель для анализа данных экспериментов с од­ним фактором А имеет следующий вид:

где a^A_i- главный эффект фактора А на уровне i. Все наблюдения на данном уровне обработки анализируются, используя то же самое значение для a^A. Так как в этом эксперименте имеется только один фактор, число комбинаций обработки определяется числом уровней I этого фактора.

Для двух факторов общая модель факторного плана такова:

где a^B_j- главный эффект фактора В на уровне j; a^AB_ij- взаимодействие фактора А на уровне i и фактора В на уровне j. Сумма эффектов двух факторов не равна сумме их отдельных эффектов из-за взаимодейст­вия между ними. Главный эффект фактора определяет долю участия фактора в значении функции отклика во время перехода его с нижнего уровня к верхнему.

Дисперсионный анализ, основанный на статистической модели (9.2), заканчивается построением таблицы ANOVA, в которой анализируется влияние факторов А, В, взаимодействие между факторами 16 и случайные помехи наблюдения.

С помощью ANOVA проверяется гипотеза об отсутствии влия­ния фактора. Если справедлива гипотеза об отсутствии влияния фактора, то считается, что все наблюдения получены из одной генераль­ной совокупности. Для проверки гипотезы используется F-распределение Фишера. Критерий Фишера определяет отношение двух выборочных дисперсий. Если фактор существенно влияет на от­клик, то значения F-распределения принимает большие значения и F-статистика становится значимой. Таким образом, большие значения F приводят к отбрасыванию гипотезы об отсутствии влияния фактора, т.е. фактор является значимым.