Комплексные числа

Система, состоящая из всех рациональных чисел, называется системой действительных чисел. Действительные числа расширяются до системы комплексных чисел. Действительные числа и комплексные числа эквивалентны.

Комплексные числа вводятся в связи со следующей задачей. Известно, что действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое квадратное уравнение с действительными коэффициентами. Простейшее из квадратных уравнений, не имеющих корней среди действительных чисел, есть х² + 1 = 0;

Коммуникативность и ассоциативность аналогичны. В соответствии с исторически сложившимися традициями мы будем называть комплексное число I мнимой единицей. При сложении комплексных чисел складываются отдельно их действительные части и отдельно их мнимые части.

Аргумент комплексного числа α имеет бесконечно много значений, отличающихся друг от друга на целые кратные числа 2π, а модули равны. Аргумент комплексного числа является естественным обобщением знака действительного числа равен О, аргумент отрицательного действительного числа равен π.

Изменение корня из комплексных чисел представляет уже много больше трудностей. Извлечение корня (комплексного числа) сходно с квадратным корнем. Извлечение квадратного корня из комплексного числа всегда возможно и дает два значения, отличающиеся друг от друга знаком. В частности, теперь делается возможным извлечением квадратного корня из отрицательного действительного числа, причем значение этого корня будет чисто мнимым.

Таким образом, извлечение корня n-й степени из действительного числа α также имеет n различных значений; действительных среди этих значений будет два, одни или ни одного в зависимости от знака α и четности n.

2.2. ВИДЫ КОМПРЕССИИ НАУЧНОГО ТЕКСТА

2.2.1. ПЛАН И ПРАВИЛА ЕГО СОСТАВЛЕНИЯ

ТМ: План – наиболее краткая форма записи прочитанного текста; он может быть простым (кратким) и развернутым.

Для составления плана следует разбить текст на логически законченные части, определить основную мысль каждой, кратко ее сформулировать. Если по каждому пункту дается расшифровка, тот составляется развернутый (сложный) план.

План представляет собой перечень вопросов, рассматриваемых в книге или статье. Он обычно раскрывает логику автора, помогает лучше ориентироваться в содержании произведения. Ранее составленным планом можно воспользоваться, чтобы вспомнить прочитанное, быстро отыскать в книге нужное место.

Есть два способа составления плана. Один из них – работа над ним по ходу чтения; другой – составление его после полного ознакомления с произведением, что дает возможность подытожить проделанную работу. План при этом получается более последовательным и логичным, так как ослабевает соблазн, чуть ли не каждую мысль произведения превращать в один из пунктов плана. Можно прибегать то к одному, то к другому способу его составления, в зависимости от характера изучаемой книги, статьи, доклада.

Планом, особенно развернутым, удобно (и даже необходимо) пользоваться при подготовке текста собственного выступления или статьи на какую-либо тему.

Студент, которому придется постоянно заниматься самообразованием, овладевать искусством публичного выступления, обязан приобрести прочные навыки составления планов изучаемых первоисточников. Это приучает к четкому, логическому мышлению, помогает выработать умение сжато и последовательно излагать суть вопроса. Необходимо иметь в виду, что план является составной частью большинства других форм ведения записей. Вот почему для успешного самообразования необходимо выработать прочные навыки выполнения этого вида работы.

Существуют три вида плана: назывной (составляется в форме номинации), вопросный (в форме вопросов), тезисный (в форме тезисов). Тезис – это кратко сформулированные основные положения книги, статьи, доклада. Например:

Назывной: Операционная система.

Вопросный: Что представляет собой операционная система?

Тезисный: Операционная система представляет собой совокупность программ, которые предоставляют пользователю удобство виртуальной машины и повышают эффективность использования компьютера.

2.2.2. КОНСПЕКТ И ПРАВИЛА ЕГО СОСТАВЛЕНИЯ

ТМ: Конспект – это краткая письменная запись содержания статьи, книги, лекции, предназначенная для последующего восстановления информации с различной степенью полноты.

Конспектирование может осуществляться тремя способами:

1) цитирование (полное или частичное) основных положений текста;

2) передача основных мыслей текста «своими словами»;

3) смешанный вариант.

Все три варианта предполагают использование сокращений. Выбор формы конспекта зависит от объема и характера информации, а также цели конспектирования. Если конспект создается для дальнейшего использования в курсовой или дипломной работе, обычно выбирается первый или смешанный варианты. Если необходимо законспектировать главу учебника или статью для запоминания и устного ответа на экзамене, используется второй.

При написании конспекта рекомендуется следующая последовательность работы:

1) проанализировать содержание каждого фрагмента текста, выделяя относительно самостоятельные по смыслу;

2) выделить из абзацев необходимую, с точки зрения поставленной проблемы, информацию, убрав избыточную;

3) записать всю важную для последующего восстановления информацию своими словами или цитируя, используя сокращения.

Стандартные сокращения, используемые при конспектировании:

• Т.е. – то есть, и т.д. – и так далее, и т.п. – и тому подобное, др. – другое,

И пр. – и прочие (после перечисления);

• см. – смотри; ср. – сравни; напр. – например (при ссылке, например, на другую часть работы);

• в. – век, вв. – века, г. – год, гг. – годы (при обозначении цифрами веков, годов);

• т. – том, тт. – тома, н.э. – нашей эры, гр. – гражданин, г-н – господин, с. – страница, акад. – академик, доц. – доцент, проф. – профессор, им. – имени

Примечание: при сокращении двойными буквами (вв., гг., тт.) точка между ними не ставится.

Задание 55. Из учебников, учебных пособий по специальности, а также из энциклопедий подберите по 5 примеров каждого их четырех видов сокращений.

ТМ: Символы, используемые при конспектировании:

Задание 56. Из предлагаемых ниже текстов выберите один и законспектируйте его

Текст 1.

Целые положительные числа 1,2,3… называются натуральными. Если присоединим к натуральным числам все дробные числа и нуль, а также если рассмотрим не только положительные числа, но и отрицательные, получим множество рациональных чисел. Любое рациональное число имеет вид, где и – целые числа.

Каждое рациональное число может быть записано в виде конечной десятичной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Иррациональными числами называются бесконечные непериодические десятичные дроби. Все иррациональные и рациональные числа образуют множество действительных чисел.

Перейдем теперь к геометрическому изображению чисел. Возьмем прямую линию и на ней некоторую точку О, которую примем за начало отсчета длин. Выберем масштаб, т.е. отрезок, принимаемый за единицу длины, и установим направление отсчета. Прямая линия, на которой указаны начало отсчета длин, масштаб и направление отсчета, называется числовой осью.

Представим себе числовую ось в виде горизонтальной прямой, положительное направление на ней установим слева направо. Будем откладывать от начала отсчета все отрезки, соизмеримые с единицей масштаба, длины таких отрезков, как известно из геометрии, выражаются рациональными числами. В соответствии с выбранным направлением отсчета отрезки, откладываемые вправо от точки О, мы будем считать соответствующими положительными числами, а отрезки, откладываемые влево от нее, – соответствующими отрицательными числами.

Пусть конец отрезка, соответствующего в выбранном масштабе рациональному числу А и число А есть координата точки М. Очевидно, точка О изображает число нуль.

Точки с числовой оси, изображающие рациональные числа, называются рациональными точками.

Текст 2.

Информатика – научная дисциплина, изучающая структуру и общие свойства информации, а также закономерности всех процессов обмена информацией при непосредственном устном и письменном общении специалистов до формальных процессов обмена посредством различных носителей информации. Значительную часть этих процессов составляет научно-информационная деятельность по сбору, переработке, хранению, поиска и распространению информации.

Объектом изучения информатики не является содержание конкретной научно-информационной деятельности, которой должны заниматься специалисты в соответствующих отраслях науки и техники. Она изучает внутренние механизмы реферирования документов на естественных языках, разрабатывает общие методы такого реферирования.

Информатику рассматривают как один из разделов кибернетики. Считается, что в нее входят проблемы автоматизации информационной службы, перевода и реферирования научно-технической литературы, построение информационно-поисковых систем и ряд других задач. Однако ряд проблем, решаемых информатикой (оптимизация системы научной коммуникации, структура научного документа, повышение эффективности научного исследования путем применения научно-информационных средств) выходит за пределы кибернетики.

Основная задача информатики заключается в определении общих закономерностей, в соответствии с которыми происходит создание научной информации, ее преобразование, передача и использование в различных сферах деятельности человека. Прикладные задачи заключаются в разработке более эффективных методов и средств осуществления информационных процессов, в определении способов оптимальной научной коммуникации с широким применение технических средств.

Как было сказано выше информатика входит в состав более общей науки кибернетики, изучающей общую теорию управления и передачи информации. Основное свойство кибернетики заключается в том, что она пригодна для исследования любой системы, которая может записывать, накапливать, обрабатывать информацию, благодаря чему ее можно использовать в целях управления.

Кибернетика – наука об общих законах получения, хранения, передачи и переработки информации в сложных системах. При этом под сложными системами понимаются технические, биологические и социальные системы, поэтому кибернетика нуждалась в мощном инструменте, и этим инструментом стали компьютеры.

Вместе с тем известно, что в нашей стране наблюдается заметное отставание в области информатики, особенно в плане обеспечение ее материально-технической базой, а следовательно и в плане практического применения компьютерной техники и технологии.

В целях устранения создавшегося положения в стране была разработана государственная программа, базирующаяся на концепции информатизации общества. Основные положения этой концепции предусматривают:

2. Достижение всеобщей компьютерной грамотности;

3. Создание материально-технической базы, обеспечивающей широкое использование компьютерной техники и технологий на уровне мировых стандартов;

4. Разработка и внедрение единого фонда программного обеспечения;

5. Эффективное использование потенциала информационно-вычислительныхсистем во всех сферах жизни общества.

Текст 3.

Linux является бесплатной операционной системой с открытым исходным кодом. Каждый пользователь может загрузить из Интернета исходные тексты самой операционной системы и программ для нее и самостоятельно скомпилировать и настроить систему. Согласитесь, что этот путь достаточно сложен для программиста со стажем. Поэтому различные компании продают собственные дистрибутивы Linux. Каждый из этих дистрибутивов имеет свою собственную программу установки, запустив которую обычный пользователь может получить работающую систему. В каждом дистрибутиве эта программа установки «своя», однако ее назначение одинаково.

Разработчики дистрибутивов Linux позаботились о том, чтобы пользователь после установки системы мог сразу начать работать, не устанавливая дополнительных программ. Все программы, которые могут понадобиться в повседневной работе, уже включены в дистрибутив системы. Разумеется, впоследствии можно установить и дополнительные программы, если пользователю требуется что-либо особенное. Установочная программа позволяет также выбрать необходимые приложения в процессе установки системы.

Различные дистрибутивы могут отличаться набором программ, входящих в комплект поставки Linux, а также настройки, которые пользователь получает «по умолчанию».

Для русскоязычного пользователя одним из самых важных моментов является отсутствие проблем с символами кириллицы, которые, как известно, могут быть представлены в различных кодировках, из-за чего в кириллической части компьютерного мира давно уже возникла некоторая путаница. Поэтому первый совет – следует выбирать дистрибутив, подготовленный для работы с русским языком. Сегодня это может быть либо ASP Linux, либо ALT Linux, либо Mandrake RE. В последнем названии самое важное – это именно приставка RE, что означает Russian Edition, то есть русская редакция. Оригинальный дистрибутив Linux Mandrake – англоязычный.

ТМ: При написании конспекта для написания курсовой или дипломной работы не забывайте:

1. оставлять широкие поля для записи комментариев к тексту;

2. тщательно выписывать все библиографические данные конспектируемой статьи;

3. правильно оформлять цитаты, чтобы в дальнейшем их можно было отличить от «отредактированного» вами

Правила цитирования (оформление цитат). Формы цитирования:

1. точное;

2. косвенное;

3. ссылка.

Точное цитирование.

• При точном цитировании обязательно указание источников со страницами; все пунктуационные знаки, элементы графического оформления (абзацы, подпункты и пр.) и акцентирования (курсив) должны быть сохранены. При наличии в тексте-оригинале элементов графического акцентирования необходимо указать, что они принадлежат автору текста-оригинала («Логика – это наука о способах и формах мышления (курсив авторский – И.И.)»);

• если элементы графического акцентирования введены цитирующим, также необходимо указание авторства (Нефть имеет органическое (курсив наш – И.И.) происхождение).

Косвенное цитирование.

Соотношение текста оригинала и косвенной цитаты такое же, как и соотношение между прямой и косвенной речью. Допускаются некоторые модификации, но необходимо следить за сохранением сути излагаемой мысли.

Ссылка представляет собой упоминание автора и источника. Подобная форма цитирования используется в тех случаях, когда источники являются хрестоматийными для данной проблемы и конспект работы делает нецелесообразным иные формы цитирования.

ТМ: Правила составления библиографии.

І. Персоналии:

1. Авторы книг, разделов, статей указываются в самом начале библиографии, причем инициалы следуют за фамилией. Если авторов несколько, они перечисляются через запятую.

2. Редакторы изданий указываются после одной косой линии (/), причем в данном случае инициалы указываются перед фамилией. Упоминание фамилий редакторов обычно сопровождается комментариями: Под ред., Отв. ред. и т.д.

Примечание: Если количество авторов или редакторов слишком велико для полного перечисления, указываются 2-3 фамилии (первые в списке) и дается уточнение и др.

ІІ. Названия книг, статей, разделов:

Названия не берутся в кавычки.

1. Уточнения к названиям отделяются двоеточием и указываются с большой буквы (Русский язык: Учебное пособие).

Например:

Русский язык: Учебное пособие для студентов казахских отделений университета (бакалавриат) / Под ред. К.К.Ахмедьярова, Ш.К.Жаркынбековой. – Алматы: Казак университеты, 1999. – 156 с.

ІІІ. Названия источников (периодических изданий):

1. Названия периодических изданий отделяются от названия статей двумя косыми линиями (//).

2. Информация о журнале дается в следующем порядке: Название журнала. Год. №.

3. Если периодическое издание выходит выпусками (например, раз в год), необходимо указывать номер выпуска.

4. Если название выпусков стандартно, то указывается перед номером выпуска; в том случае, когда каждый выпуск имеет свое название, сначала указывается номер выпуска, а затем его название.

5. Если периодическое издание группируется не только по номерам, но и по томам, номер тома указывается до номера журнала.

Например:

Матюшкин А.М. К проблеме порождения ситуативных познавательных потребностей // Психологические исследования интеллектуальной деятельности / Под ред. О.К.Тихомирова. – М., 1979.

ІV. Место и год издания:

1. Место выпуска книги указывается обычно в непериодических изданиях.

2. Указание на место издания отделяется от левой части строки с помощью тире.

3. Название города, в котором была издана книга, обычно указывается полностью. Исключение составляют Москва, Ленинград, Санкт-Петербург: их названия указываются в сокращении (М., Л., СПб).

4. Если требуется указание издательства, оно дается после названия города и отделяется двоеточием. Название не берется в кавычки.

5. Год издания указывается полностью (четыре цифры). Он отделяется от левой части строки запятой, после него ставится точка.

V. Авторефераты и диссертации:

1. Автор и название автореферата или диссертации указывается так же, как и в других авторских изданиях. Информация о том, что издание является авторефератом или диссертацией, указывается на правах уточнения.

2. Статус подобной работы указывается в сокращении так же, как и обозначение степени: а) слова автореферат и диссертация сокращаются как ав-тореф. и дисс.; б) слова кандидат, доктор обычно сокращаются как канд. и докт. Название науки сокращается настолько, чтобы остаться узнаваемым (технические – техн., филологические – фил. и др.)

3. Между словами ав-тореф. и дисс. Ставится многоточие (…), далее указывается степень (например, канд. фил. наук, докт. техн. наук и др.).

4. После названия статуса работы указывается учреждения. В котором была защищена работа; эта информация отделяется одной косой чертой (/). Далее следует город и год издания.

Задание 57. Скажите, что такое библиографическое описание. Дайте определение понятия и прокомментируйте его.

Задание 58. Назовите элементы библиографического описания. Скажите, какие из них являются обязательными, а какие – факультативными элементами библиографического описания и почему. Аргументируйте свое понимание.

Задание 59. Скажите, как описывается книга, если она имеет четырех и более авторов. Приведите пример такого описания.

Задание 60. Скажите, как оформляется заглавие, если название произведения состоит из нескольких фраз.

Задание 61. Скажите, когда ставится косая черта при описании научного произведения. Приведите примеры ее употребления.

Задание 62. Скажите, как можно сократить длинное название произведения. Приведите пример такого оформления.

Задание 63. Составьте библиографическое описание книги (монографии) по вашей специальности.

Задание 64. Скажите, как оформляется описание статьи:

а) из газеты;

б) из журнала;

в) из сборника;

г) из книги.

Приведите пример такого оформления.

Задание 65. Составьте библиографию по предложенной преподавателем теме.

2.2.3. НАПИСАНИЕ ТЕЗИСОВ

ТМ: Тезис – элемент доказательства; положение, утверждение, которое автор намерен доказать, защищать.

Тезисы – результат компрессии текста; кратко сформулированные основные положения статьи, параграфа, главы, лекции, доклада и т.п.

Первичные тезисы представляют собой краткое изложение содержания публичного выступления (доклада).

Вторичные тезисы пишутся на основе статьи, лекции и т.п. другого автора (ср.: аннотация, реферат, конспект).

В тезисах, по сравнению с тезисным планом, представлена более развернутая информация. Тезисы, как и пункты плана, принято нумеровать арабскими цифрами.

В языковом отношении для тезисов характерны безличные предложения, предложения номинативные, глаголы с возвратной частицей –ся, краткие страдательные причастия (затрагивались, уделялось, представлена, принято и т.п.).

В научных статьях и тезисах не принять использовать личное местоимение 1 л. ед. числа «я». Его следует заменять местоимением 1 л. мн. числа «мы» (так называемым «авторским мы»).

Задание 66. Прочитайте текст. Озаглавьте его. Составьте назывной план и разверните его в тезисный.

Жизнь, особенно техника, а также очень многие науки, ставят перед математикой все новые и новые задачи. Математикам приходится разрабатывать вопросы математической теории и создавать методы, обеспечивающие решения возникающих в различных науках и практике задач. Как же поступают математики? Решение всякой задачи по математике – это прежде всего цепь рассуждений. Вычисления, преобразования, построения, которыми так часто приходится пользоваться для решения задач, невозможны без логических рассуждений: они направляются рассуждениями. Значит, в математике невозможно обойтись без логики.

Приведем несколько примеров. В 1781 г. Была открыта планета Уран. Наблюдения за движением этой планеты в конце XVIII – начале XIX в. Показали, что оно несколько отличается от математически предсказанного движения. Объяснить это отличие можно лишь влиянием на Уран новой, неизвестной планеты, находящейся еще дальше от Солнца. И вот французский ученый Леверье (1811-1877), исходя из отклонений в движении Урана, логически рассуждая и выполнив довольно сложные вычисления, указал положение этой планеты на небе. И действительно, в указанном Леверье участке неба 23 сентября 1846 г. Астроном Галле нашел новую планету, названную потом Нептуном. Это открытие является одним из выдающихся достижений человеческого мышления. Так же была открыта и девятая, следующая планета, названная Плутоном.

Математика помогла также открытию многих малых планет, например Цереры. Цереру впервые наблюдал астроном Пиацци, но из-за перерыва в наблюдениях потерял ее. На помощь пришел знаменитый математик К.Ф.Гаусс. Располагая некоторыми данными о новой планете, полученными Пиацци, он вычислил ее орбиту. И действительно, по указаниям, данным Гауссом, Церера была вновь найдена.

Вот еще один пример, иллюстрирующий значение логики в математике. В глубокой древности люди пытались опытным путем найти отношение длины окружности к ее диаметру, т.е. пытались найти число, показывающее, во сколько раз длина окружности больше длины ее диаметра. Этим числом, обозначаемым буквой π (пи)*, приходится пользоваться при вычислении по известной длине диаметра длины окружности и площади круга, а также для решения многих других важных задач. Значит, надо было с необходимой точностью вычислить значение π. Опытное вычисление могло дать лишь грубо приближенный результат. На ранних степенях человеческой культуры пользовались этими неточными значениями π. В Древнем Египте, например, свыше 3000 лет назад считали число π равным 3. В Ш в.до н.э. один из величайших математиков Древней Греции, талантливый изобретатель, верный сын своей родины, погибший от врагов ее, Архимед без измерений, одними лишь рассуждениями и вычислениями, нашел для числа π довольно точное значение: 3 1/7 (архимедово число). Позднее другие математики, воспользовавшись открытием Архимеда, вычислили π с еще большей точностью. Так, в XVI в. немецкий математик Лудольф, затратив очень много времени, вычислил 35 десятичных знаков этого числа. Лудольфово значение π равно: 3,14159265358979323846264338327950288. Вычисления более точных значений π после Лудольфа, основанные уже на иных соображениях, не прекращались. В 1873 г. математик Шенкс, правда, вычислил всего 707 десятичных знаков, но, начиная с 528-го, его знаки оказались ошибочными. Такое приближенное значение π, какое было найдено Шенксом, наверное, не имеет практической ценности. И все же вычисление новых знаков числа π продолжалось. В 1946-1947 гг. в Англии и США с помощью ЭВМ вычислили 808 десятичных знаков этого числа, в 1949 г. ­– 2035 знаков, а затем 3089 знаков. В настоящее время известно свыше 10 000 знаков числа π, и вычисление все новых знаков приносит некоторую практическую пользу: так проверяют вычислительные возможности современных ЭВМ, программного обеспечения к ним. Мы видим, что логические рассуждения, позволившие развить геометрию и другие части математики, дают возможность вычислить число π и многие другие часто используемые числа (константы) с любой степенью точности, без каких либо измерений.

Все сказанное заставляет сделать вывод о необходимости настойчивого овладения умением логически рассуждать. Учиться логически рассуждать нужно много и постоянно.

Задание 67. Прочитайте приведенный ниже текст. Разверните простой план в тезисный план.