Своеобразие геометрических построений

В китайской математике нет строгих геометрических рассуждений, базирующихся на последовательном логическом применении аксиом, постулатов, определений или теорем, нет и абсолютных истин в духе Евклида. В ней все относительно. Китайская геометрия не знает углов, ни параллельных линий, только длину, площадь и объем. Нет здесь алгебры в том виде, в каком она была у арабов, нет нахождения корней уравнений с помощью радикалов или графических методов. Нет и «риторической» алгебры, воплощенной в прозе и стихах.

Однако китайская математика исходит не только из эмпирических знаний. Она скорее основывается на мыслительном процессе, в основу которого положен эвристический подход: упор делается на сам результат, а не на изложение тонкостей доказательства того, что воспринимается как должное. Так, один из основных постулатов китайской геометрии гласит, что, если тело разбить на отдельные элементы, его площадь и объем остаются неизменными, даже если число этих элементов стремится к бесконечности.

Такой принцип вовсе не исключает возможности использования аксиом, но все дело в том, что тела в китайской геометрии не были абстрактными объектами. Они скорее напоминали разноцветные осязаемые части игры-головоломки, которыми можно манипулировать как угодно. Китайской геометрии свойствен скрупулезный анализ, который позволяет добиться желаемых результатов не только при определении площади объема, но и при рассмотрении некоторых свойств прямоугольного треугольника, подсчете суммы ряда, решении уравнений или систем уравнений и при установлении «замечательных тождеств».

Более того, она не считает зазорным (в отличие от Евклида) прибегать к подсчетам и пользуется всеми способами, которые могут оказаться полезными в данном случае. Иными словами, для нее все методы хороши. Возможно, это связано с влиянием даосистской философии: известно, что китайские математики в 3 – 5 вв. преклонялись перед отцом этого течения Чжуан-цзы, который отрицал язык как эффективный способ постижения реальности. Он считал, что ложные рассуждения софистов продемонстрировали ограниченность этого средства, и утверждал, что логические рассуждения, способные привести к неверным выводам, нельзя считать надежными для описания реальности. Отсюда и распространенное среди китайских математиков, находившихся под влиянием даосизма, недоверие к языку. В то же время они стремились использовать другие пути, не забывая и про собственные органы чувств, и предпочитали вычисления и другие манипуляции с объектами, дабы обойтись без слов. К словесным же доказательствам прибегали только в крайнем случае, когда ничего другого не оставалось.

Каким же образом математика, столь тесно связанная с конкретными вещами, позволяла получать отвлеченные результаты? В действительности конкретность китайской математики не означает отсутствия абстракции. Напротив, некоторые результаты, полученные в ходе манипуляций с частями головоломки, свидетельствуют о большой изобретательности и поразительной способности к абстрагированию.

Кроме того, китайским математикам часто приходилось намеренно искажать реальность, поскольку эту науку было трудно преподавать без упрощения сложных проблем повседневной жизни. Именно поэтому во многих задачах за внешним правдоподобием скрываются вымышленные ситуации. Числовые данные в них не соответствуют реальным : они либо слишком велики или малы, либо лишены смысла (дробное число людей), либо приводятся в произвольном сочетании (площади складываются с объемами и ценами). Порой неизвестные и известные величины меняются местами; размеры тела требуется подсчитать исходя из объема, капитал – из процентов, количество товара – из части, полученной каждым. Очевидно, такое построение задач было неслучайным: оно открывало простор математической мысли.

Именно на такой «вымышленной почве» развивалась китайская алгебра. В самых древних из дошедших до нас учебниках содержится набор правил для решения определенного круга задач. В крайних случаях каждая задача выделяется в отдельный класс. Позднее появились единые методы решения все более широких классов задач. Необходимость искусственных ситуаций постепенно отпала.

Но без системы счета все это вряд ли было бы возможным. Самобытность китайской математики состоит в методах вычислений, для выполнения которых применяются разнородные счетные приспособления. При выполнении даже самых замысловатых вычислений китайцы полагались главным образом на счетные палочки: по их расположению определялись числовые коэффициенты в упражнениях. Применение палочек в какой-то степени лишало задачи конкретного выражения и переводило их в область абстрактного мышления.

Новый метод стал известен под общим названием «фанчен»: слово «фан» означает квадрат или треугольник, а «чэн» - распределять. Иными словами, числа распределялись по двум направлениям, образующим квадрат или прямоугольник, формируя то, что теперь называют матрицей. Кроме того, использовались два типа палочек: красные и черные, они символизировали положительные и отрицательные величины и соответствовали взаимодополняющим силам мироздания – инь и ян.

Итак, перед нами некая «инструментальная» алгебра, в которой отсутствуют логические рассуждения. В этом ее сила и ее слабость: методы вычисления растворяются, исчезают в процессе их выполнения. «Искусство перекладывания палочек» сродни искусству музыканта-виртуоза, который исполняет свою партию, не глядя в ноты. Не случайно некоторые китайские математики сравнивают свою науку с музыкой.

Таким образом, методы вычислений и операций над объектами – основные компоненты этой математики, которая никогда не считала себя связанной какими-либо канонами и на различных этапах своей истории органично впитывала многочисленные достижения других культур.

Жан-Клод Марцлоф. Небесные корни.

Задание 81. Обзорный реферат составляется по двум и более статьям на одну тему. Напишите реферат-обзор по трем текстам.

Известно, какую огромную роль сыграли древнегреческие ученые в развитии математики на Западе. На это указывают сами слова «математика», «математик» и их эквиваленты во многих европейских языках, пришедшие из греческого, от глагола «знать, изучать». Первоначально слово «mathema» означало «то, чему обучают», то есть все виды знаний, и только в классический период приобрело более узкое значение, которое имеет, и по сей день.

Текст 1.