9.5. Факторный план

При экспериментировании с моделью различают входные и вы­ходные переменные. Входные переменные называются факторами. Выходные переменные называются откликами. Каждый фактор в эксперименте может принимать одно или несколько значений, назы­ваемыми уровнями фактора. Множество уровней факторов опреде­ляет одно из возможных состояний моделируемой системы и пред­ставляет условия проведения одного из возможных экспериментов. Существует определенная связь между уровнями факторов и откли­ками системы, которая обычно заранее неизвестны. Эту связь можно определить следующим образом:

где у_l, - l-й отклик, п - число анализируемых откликов, x_i - i-й фактор, т - число факторов.

Функция ψ в правой части называется функцией отклика или реакции. Ее геометрический образ - поверхность отклика. Так как функция ψ заранее не известна, то используют другую приближен­ную функцию:

Эти функции φ_l находят по данным эксперимента и представ­ляют в виде степенного полинома первого, второго и, реже, третьего порядка. После проведения экспериментов аппроксимирующие по­линомы заменяют уравнениями регрессии и методом наименьших квадратов находят статистические оценки их неизвестных коэффици­ентов.

Факторный эксперимент может быть отсеивающий, когда из всего множества факторов определяются те факторы, которые суще­ственно влияют на отклики модели. Второй вид факторного экспери­мента используется для определения экстремальных значений на по­верхности отклика. В этом случае серия факторных экспериментов планируется так, чтобы достичь экстремума на поверхности отклика.

Факторный эксперимент представляет собой план, в котором все уровни каждого фактора встречаются в сочетании со всеми уровнями всех других факторов. Различные уровни некоторого фактора могут соответствовать качественным значениям (например, разные дисциплины обслуживания в устройстве) или количественным значе­ниям (например, число устройств обслуживания). Если фактор f (f= 1,...,k) имеет L_f уровней, то общее число комбинаций уровней оп­ределяется произведением:

Если число уровней для каждого из факторов одинаково, то об­щее число комбинаций будет L^k .

Левая часть выражения (9.1) используется для обозначения факторного плана.

Применение факторного плана вместо классической схемы, со­гласно которой каждый раз изменяется только один фактор, имеет ряд преимуществ.

• Становится более полной картина влияния каждого фактора, поскольку они изучаются в самых различных условиях (вследствие, одновременного изменения других факторов).

• Большое число комбинаций факторов, используемых в эксперименте, облегчает предсказание результатов, которые могут быть достигнуты при определенной комбинации условий.

• Если эффекты, вызываемые каждым фактором, статистически независимы, то о каждом факторе можно получить не меньше, информации, чем при изменении в экспериментах только одного фактора при фиксации остальных.

• Если (как это часто бывает) различные факторы не являются независимыми, а вызывают эффекты, которые в большей или меньшей степени коррелированны, то в этом случае только факторный эксперимент может дать информацию о характере этих взаимодействий. При наличии нескольких взаимосвязанных су­щественных факторов обойтись без постановки факторного экс­перимента невозможно. Для ряда часто встречающихся специальных задач разработано большое число стандартных факторных планов.

Рассмотрим пример 2-х факторного эксперимента, с двумя фак­торами на 2-х уровнях и с двумя наблюдениями в каждом опыте, т.е. план 2². Факторы принято обозначать буквами латинского алфавита А, В, С и т.д.

Результаты экспериментов сведем в таблицу 9.1.

В этой таблице y_ijg обозначает g-e наблюдение (g = 1,2) в ячейке i, j. Количество наблюдений (прогонов модели) g определяется же­лаемой точностью получения оценок откликов.

В общем случае в 2-х факторном эксперименте число уровней факторов А и В равно соответственно I и J. Обозначим математиче­ское ожидание Е(y_ijg)=η_ij, тогда в планировании эксперимента предполагается верной следующая модель:

где e_ijg - ошибка опыта. Предполагается, что все эти ошибки являют­ся независимыми нормально распределенными случайными величи­нами с математическим ожиданием 0 и дисперсией σ². При имитации ошибки опытов можно сделать независимыми, применяя различные последовательности случайных чисел при прогонах модели.