Второй этап - решение исходной задачи

Если на первом этапе решение ВЗ закончилось случаем 1 или 2, то можно перейти ко второму этапу - решению исходной задачи.

(3.81)

(3.82)

(3.83)

так как расширенная матрица системы линейных уравнений (3.82) является К-матрицей.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Вернемся к решению задачи из примера в начале темы. Для задачи (3.51)-(3.53) запишем ВЗ:

-(U₁+U₂+U₃) max (3.84)

2X₁+2X₃+4X₄+X₅+U₁=150

X₁+X₂+2X₅+U₂=200 (3.85)

X₁+X₃+2X₆+U₃=300

_(3.86)

Результаты первого этапа представлены в табл. 3.6.

Таблица 3.6

На третьей итерации симплексного метода получен оптимальный план вспомогательной задачи: =(200; 0; 0; 37.5; 0; 50; 0; 0; 0),

в котором ни одна из искусственных переменных не является базисной, следовательно, вектор =(200; 0; 0; 37.5; 0; 50) является невырожденным опорным планом исходной задачи, определяемым К-матрицей.

На втором этапе решаем задачу

max(-0.4X₁-0.3X₂-0.1X₃-0.1X₅-0.2X₆)

.

Решение приведено в табл. 3.7.

Таблица 3.7

На первой итерации (табл. 3.7.) второго этапа получен оптимальный план исходной задачи ₁=(0; 0; 12.5; 100; 150) и =40.

Так как =0, а вектор не является базисным, то его можно ввести в базис, и при этом в соответствии с формулой (3.28) значение целевой функции не изменится, т.е. на второй итерации можно получить еще один оптимальный план исходной задачи

₂=(0; 0.25; 0; 100; 137.5) и =40.

Исходная задача имеет бесчисленное множество решений, задаваемое формулой _(3.87)

Пример 3.15. Решить ЗЛП:

max(2X₁-X₂-X₄)

X₁-2X₂+X₃=10

-2X₁-X₂-2X₄ 18 (3.88)

3X₁+2X₂+X₄ 36

Приведем ЗЛП (3.88) к каноническому виду

max(2X₁-X₂-X₄)

X₁-2X₂+X₃=10

-2X₁-X₂-2X₄- S₁ =18 (3.89)

3X₁+2X₂+X₄-S₂ =36

Расширенная матрица системы линейных уравнений (3.89)

не является К-матрицей ЗЛП (3.89) , т.к. не содержит единичной подматрицы.

Запишем вспомогательную задачу для ЗЛП (3.89) . Т.к. матрица содержит один единичный вектор =(1; 0; 0), то при формулировке ВЗ достаточно ввести лишь две искусственные переменные U₁ ;U₂ во второе и третье уравнения системы (3.89).

Итак, ВЗ имеет вид

-(U₁+U₂) max

X₁-2X₂+X₃=10

-2X₁-X₂-2X₄-X₅+U₁=18 (3.90)

3X₁+2X₂+X₄-X₆+U₂=36

; U₁ ,U₂ 0

Решение ВЗ приведено в табл 3.8.

Таблица 3.8

На первой итерации получен оптимальный план.

=( 0; 18; 46; 0; 0; 36; 0 ).

Т.к. вектор имеет отличную от нуля искусственную переменную U₁=36, то множество планов ЗЛП (3.88 ) пусто в силу несовместности системы уравнений (3.89).